Точка P лежит на стороне АВ равностороннего треугольника ABC, и при этом AP = 4. Точки Lи М лежат M на стороне BC, причём BL = 3, BL< BM, а PL=PM. Найдите СМ.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. А угол, смежный с внешним углом, находится по формуле: 180-градусная мера внешнего угла.
Отсюда угол, смежный с внешним углом, равен 180-40=140 градусов.
А так как этот угол лежит напротив основания равнобедренного треугольника, а сумма углов, находящихся при основании этого самого треугольника, равна 40-ка градусам. То сами оставшиеся углы равны 40:2=20 градусов.
ответ: Тупой угол с градусной мерой в 140 градусов и два равных угла по 20 градусов.

Окружность вписана в сектор, значит, она касается радиусов и дуги, на которую опирается центральный угол.   
 А - центр большей окружности,  
угол А=60º 
Н -точке касания вписанной в сектор окружности с дугой.  
ВС - касательная к точке H.  
∠АНС=∠ВНС=90º
 Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. 
 АН- биссектриса∠ВАС  
∠ВАН=САН=30º 
 ∆ ВАН= ∆ САН  
∠АВС=∠АСВ=60º 
 ∆ АВС - равносторонний с высотой АН=R=4 см
 Радиус  r вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 её     высоты.  
 r =4/3 см  
 Ѕ=πr²=(4/3)² π=16/9π см²