Точка s не принадлежит плоскости равностороннего треугольника ABC и равноудалена от его вершин. Точка M-середина стороны AC.Докажите,что плоскости MSB и ABC перпендикулярны.
Дан правильный тетраэдр ABCD, ребро которого равно а, DO-высота тетраэдра, М-середина DO.
Высота DO равна а√2/√3 (это свойство правильного тетраэдра). Точка О делит высоту АЕ основания в отношении 2:1 от вершины. АЕ = а*cos 30° = a√3/2. Тогда отрезки АО и ОЕ равны: АО = (2/3)*(a√3/2) = a√3/3, ОЕ = (1/3)*(а√3/2) = а√3/6. Примем длину МО = х. Из подобных треугольников AMO и AFE составляем пропорцию: х/АО = EF/AF. Так как EF = OE, а AF = DO, то пропорция примет вид: х/(а√3/3) = (а√3/6)/(а√2/√3). Отсюда значение х равно: х = (а√3)/(6√2) = (а√6)/12 = (а√2)/(4√3) = OD/4. Получаем ответ на вопрос - г) в каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра AF,считая от А? ответ: DM:MO = 3:1.
Сечение через точку М, параллельное плоскости ВСD, пересекает АЕ в точке Т, которая делит ОЕ пополам. Тогда АТ = (5/6)АЕ и треугольник в полученном сечении имеет коэффициент подобия к треугольнику ВСД, равный 5/6.
Площадь подобного треугольника NКР в сечении равна площади ВСД, умноженной на квадрат коэффициента подобия. S(BCD) = (1/2)BC*DE = (1/2)a*(a√3/2) = a²√3/4. S(NKP) = (a²√3/4)*(25/36) = a²*25√3/144.
Конечно, площадь поверхности кубиков больше - шар обладает наименьшей поверхностью против любых других тел равного объёма. Посчитаем Площадь одного куба S₁ = 6*10² = 600 см² Трёх кубов 3*S₁ = 3*600 =1800 см² Объём одного куба V₁ = 10³ = 1000 см³ Трёх кубов 3*V₁ = 3*1000 = 3000 см³
Объём шара радиусом R V = 4/3*π*R³ И объём шара равен объёму трёх кубов 3000 = 4/3*π*R³ R³ = 3000*3/(4π) = 2250/π R = ∛(2250/π) = 5∛(18/π) Поверхность шара S₂ = 4πR² = 4π(5∛(18/π))² = 4π*25*∛(3⁴*2²/π²) = 100*3∛(3*4*π) = 300∛(12π) ≈ 1005,92 см² И эта площадь меньше площади трёх кубов, равной 1800 см²
Высота DO равна а√2/√3 (это свойство правильного тетраэдра).
Точка О делит высоту АЕ основания в отношении 2:1 от вершины.
АЕ = а*cos 30° = a√3/2.
Тогда отрезки АО и ОЕ равны:
АО = (2/3)*(a√3/2) = a√3/3, ОЕ = (1/3)*(а√3/2) = а√3/6.
Примем длину МО = х.
Из подобных треугольников AMO и AFE составляем пропорцию:
х/АО = EF/AF.
Так как EF = OE, а AF = DO, то пропорция примет вид:
х/(а√3/3) = (а√3/6)/(а√2/√3).
Отсюда значение х равно:
х = (а√3)/(6√2) = (а√6)/12 = (а√2)/(4√3) = OD/4.
Получаем ответ на вопрос - г) в каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра AF,считая от А?
ответ: DM:MO = 3:1.
Сечение через точку М, параллельное плоскости ВСD, пересекает АЕ в точке Т, которая делит ОЕ пополам.
Тогда АТ = (5/6)АЕ и треугольник в полученном сечении имеет коэффициент подобия к треугольнику ВСД, равный 5/6.
Площадь подобного треугольника NКР в сечении равна площади ВСД, умноженной на квадрат коэффициента подобия.
S(BCD) = (1/2)BC*DE = (1/2)a*(a√3/2) = a²√3/4.
S(NKP) = (a²√3/4)*(25/36) = a²*25√3/144.
Периметр NКР равен (5/6)*3а = 5а/2.
Посчитаем
Площадь одного куба
S₁ = 6*10² = 600 см²
Трёх кубов
3*S₁ = 3*600 =1800 см²
Объём одного куба
V₁ = 10³ = 1000 см³
Трёх кубов
3*V₁ = 3*1000 = 3000 см³
Объём шара радиусом R
V = 4/3*π*R³
И объём шара равен объёму трёх кубов
3000 = 4/3*π*R³
R³ = 3000*3/(4π) = 2250/π
R = ∛(2250/π) = 5∛(18/π)
Поверхность шара
S₂ = 4πR² = 4π(5∛(18/π))² = 4π*25*∛(3⁴*2²/π²) = 100*3∛(3*4*π) = 300∛(12π) ≈ 1005,92 см²
И эта площадь меньше площади трёх кубов, равной 1800 см²