Точки a,b,c,d не лежат в одной плоскости, а точки к и м лежат соответственно на отрезках вd и bc так, что dk: db=1: 3 и bm=mc
а) постройте плоскость, проходящую через точки к и м параллельно прямой ав, и определите, в каком отношении эта плоскость делит отрезок аd
б) постройте плоскость, проходящую через точку к параллельно плоскости асd, и определите, в каком отношении эта плоскость делит площадь треугольника авс

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения  диагоналей - центр  ромба и она делит высоту ромба так же пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, катеты относятся как 3:4, значит треугольник Пифагоров (или египетский) и отношение  сторон в нем равно 3:4:5. Пусть коэффициент отношения равен Х. Тогда по свойству высоты из прямого угла в этом треугольнике имеем: 12 = 3х*4х/5х =>  х = 5см.

Половины диагоналей равны 3х = 15см и 4х=20см, а диагонали, соответственно, равны d=30см и D=40см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S = 30*40/2 = 600см².

Рисунок во вложении.

АВ=ВС=АС=а - стороны равностороннего треугольника АВС

Из точки О треугольника АВС провели перпендикуляры r₁, r₂, r₃ к сторонам треугольника АВС и соединили точку О с его вершинами А, В, С. Тогда площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников АОВ, ВОС, АОС: S = S₁ + S₂ + S₃ = 0,5 r₁·AB + 0,5 r₂·BC + 0,5r₃·AC = 0,5 (1,7·а + 2,8·а + 1,5·а) = 0,5·6а = 3а, где S = (√3/4)a² - площадь равностороннего треугольника т.е. (√3/4)a² = 3а|:a (a≠0); (√3/4)a = 3; a = 12/√3 = 4√3 см.

Окончательно имеем: S = (√3/4)(4√3)² = (√3/4)16·3 = 12√3 см²

ответ: = 12√3 см².