Точки А и В делят окружность с центром О на дуги AMВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60° меньше дуги AMВ. AM — диаметр окружности. Найдите углы АМВ, АВМ, АСВ.

На сторонах AB, BC, CD и DA  четырехугольника ABCD отмечены соответственные точки  M N P и Q так что, AM=СP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что  ABCD, MNPQ - параллелограммы.

                                 ***

Обозначим равные отрезки одинаковыми буквами:

АМ=СР=а

BN=DQ=b

BM=DP=c

NC=QA=d

АВ=а+с

СD=a+c  ⇒ AB=CD

BC=b+d

AD=b+d  ⇒ BC=AD

В четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно равны. ⇒

АВСD - параллелограмм ( 2-й признак)

–––––––––––––––––––––

Рассмотрим ∆ MBN и ∆ PDQ

∠ А=∠С как противоположные углы параллелограмма АВСD.

Содержащие эти углы стороны равны по условию ⇒

 ∆ MBN = ∆ PDQ по 1-му признаку.⇒ MN=PQ

Аналогично доказывается равенство сторон  MQ и NP

В четырехугольнике MNРQ противоположные стороны равны  ⇒ MNРQ - параллелограмм. 

1. Раз BAD = 90 градусов и ABD = 45 градусов, то оставшийся угол ADB= 180-90-45=45 градусов.
2. Судя по этим углам, можно заключить, что AD = AB, а раз AB = AC = BC, то AD = AB = BC = AC.
3. Раз в треугольнике AD = AC, то и угол ADC = угол ACD.
4. В треугольнике ABC угол A = угол B = угол C = 180/3 = 60 градусов.
5. В треугольнике ACD, как и всегда, сумма углов = 180 градусов. Но раз там угол D = угол C, то возьмём один из них за х. Получается, что х+х+90(угол DAB)+60(угол BAC) = 180.
180-90-60=2х
30=2х
х=15 градусов = угол ACD = ADC.
6. Угол D, как было указано в пункте №1, равен 45 градусам. Этот угол состоит из угла ADC (15 градусов) и угла CDB (который нам и надо найти). Получается, что:
45=15+CDB
CDB = 30 градусов