Точки A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB треугольника ABC, точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Выберите 4 точки, являющиеся вершинами треугольника и его ортоцентром соответственно.
A
B
C
A1
B1
C1
O
https://edu.sirius.online/noo-back/content/_image/92
1. Все точки на оси абсцис имеют координату игрек равную 0.
Обозначим искомую точку как С(х; 0)
Тогда AC = BC
√((х+2)^2 + (0-6)^2) = √((х-7)^2 + (0-3)^2)
(х+2)^2 + 36 = (х-7)^2 + 9
х^2+4х+4+36 = х^2-14х+49+9
4х+40 = -14х+58
18х = 18
х = 1
ответ: С(1;0)
2. Чтобы этот четырёхугольник был параллелограмом, средины его диагоналей должны находится в одной точке.
Найдём средину АС: Μ((1+9)/2; (1-1)/2) = M(5; 0)
Найдём средину BD: (тут походу ошибка в условии, вместо одного из двух чисел 5 должно быть -5, допустим, у D вторая координата должна равнятся -5) N((3+7)/2; (5-5)/2) = N(5;0)
M совпадает с N, значит, данный четырёхугольник является параллелограмом.
АС = √((9-1)^2+(-1-1)^2) = √(64+4) = √68 = 2√17 см
ВD = √((7-3)^2+(-5-5)^2) = √(16+100) = √116 = 2√29 см
3. С треугольника NMO: MO = NO*ctg45° = 6*1 = 6 см
MN = NO/sin45* = 6√2 см
С треугольника NKO: NK = √(NO^2+KO^2) = √(36+16) = √52 = 2√13 см
Формула медианы треугольника:
m = 1/2*√(2a^2+2b^2-c^2), где a, b - прилегающие стороны, с - противолежащая сторона.
m = 1/2 * √(2*72+2*100-52) = 1/2 * √292 = √73 см
ответ: АД=9; BE=6; CF=15
Объяснение: для этого сначала найдём точки середин сторон АВ, ВС, АС. Серединой АВ является точка F медианы СF,
Середина ВС является точка Д медианы АД
Середина АС является точка Е медианы ВЕ. Зная координаты вершин треугольника найдём координаты точек середин сторон по формуле:
(х1+х2)/2; (у1+у2)/2; (z1+z2)/2:
Fx=(1+3)/2=4÷2=2
Fy=(2+2)/2=4÷2=2
Fz=(4+4)÷2=8÷2=4
Итак: F(2; 2; 4)
Теперь найдём координаты точки Д:
Дх=(3+7)/2=10/2=5
Ду=(2+8)/2=10/2=5
Дz=(4+8)/2=12/2=6
Итак: Д(5; 5; 6)
Теперь найдём координаты точки Е:
Ех=(1+7)/2=8/2=4
Еу=(2+8)/2=10/2=5
Еz=(4+8)/2=12/2=6
Итак: Е(4; 5; 6)
Теперь нам известны координаты точек медиан и чтобы узнать величину каждой медианы найдём разницу между началом и концом медианы, вычитая их координы по формуле:
АД=√((х1-х2)²+(у1-у2)²+(z1-z2)²):
АД; А(1; 2; 4); Д(5; 5; 6):
AД=√((1-5)²+(2-5)²+(4-6)²)=
√((-4)²+(-3)²+(-2)²)=√(16+9+4)=√29
ВЕ; В(3; 2; 4); Е(4; 5; 6)
ВЕ=√((3-4)²+(2-5)²+(4-6)²)=
=√((-1)²+(-3)²+(-2)²)=√(1+9+4)=√14
CF; C(7; 8; 8); F(2; 2; 4)
CF=√((7-2)²+(8-2)²+(8-4)²)=
=√(5²+6²+4²)=√(25+36+16)=√77
CF=√77