Точки M i N розміщені по різні боки від прямої АВ так, що MA=NA, MB =NB. X - довільна точка відрізка ЛВ. Доведіть, що кутAXM = кутAXN.​

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти точки определяется из выражения:              

(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек в это выражение, получаем уравнение плоскости через точки М₁М₂М₃: 3x +4y - 3z - 2 = 0.

Это же уравнение можно получить через определитель:

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA      = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1          y - 2           z - 3

(-1) - 1 2 - 2 1 - 3

3 - 1          (-1) - 2 1 - 3        = 0

x - 1    y - 2        z - 3

-2           0         -2

2         -3          -2        = 0

(x - 1)  0·(-2)-(-2)·(-3)  -  (y - 2)  (-2)·(-2)-(-2)·2  +  (z - 3)  (-2)·(-3)-0·2  = 0

(-6) x - 1  + (-8) y - 2  + 6 z - 3  = 0

 - 6x - 8y + 6z + 4 = 0

3x + 4y - 3z - 2 = 0.

ответ: MN=√ab

Объяснение:

Рассмотрим рисунки приложения.

а) Примем площади равновеликих ( по условию) треугольников АМО и NСO равными m, а площадь ∆ МОС=k.  Тогда S(АМС)=m+ k, S(NMC)=m+k, ⇒ S(АМС)=S(NMC). Оба эти треугольника имеют общее основание МС, следовательно, их высоты (на рисунке они выделены красным цветом) равны.  ⇒ расстояние между точками А  и N и прямой МС равны ⇒ МС||АN. Доказано.

б) На основании параллельности ВС║MN║AD и MC║AN с общими секущими ∆ МВС~ ∆ АMN. Из подобия следует отношение а:MN=МС:АС. Аналогично ∆ МСN~∆AND ⇒ MN:b=MC:AC, из чего следует  а:MN=MN:b и MN²=ab, ⇒ MN=√ab