1) Найти объем правильной четырёхугольной пирамиды SАВСД, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°.
Проекция AO бокового ребра AS на основание - это половина диагонали квадрата в основании. Отсюда находим сторону а основания и его площадь S. a = √2*AS*cos 60° = √2*12*0,5 = 6√2. So = a² = 72. Высота Н пирамиды равна: Н = AS*sin 60° = 12*(√3/2) = 6√3. ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*72*6√3 = 144√3 куб.ед.
2) Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды - 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. Найти объем пирамиды.
Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра. В сечении имеем равнобедренный треугольник с углами при основании в 30°. Пусть боковое ребро равно х. Тогда высота пирамиды как катет против угла в 30° равна (1/2)х. Проекция АО бокового ребра AS на основание как половина диагонали основания равна (1/2)*6*√2 = 3√2. По Пифагору х² = (3√2)² + ((1/2)х)². х² - (1/4)х² = 18. (3/4)х² = 18. х² = 18*(4/3) = 24. х = √24 = 2√6. Тогда высота пирамиды Н = 0,5х = √6. ответ: V = (1/3)*6²*√6 = 12√6 куб.ед.
Проекция AO бокового ребра AS на основание - это половина диагонали квадрата в основании.
Отсюда находим сторону а основания и его площадь S.
a = √2*AS*cos 60° = √2*12*0,5 = 6√2.
So = a² = 72.
Высота Н пирамиды равна:
Н = AS*sin 60° = 12*(√3/2) = 6√3.
ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*72*6√3 = 144√3 куб.ед.
2) Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды - 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. Найти объем пирамиды.
Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра.
В сечении имеем равнобедренный треугольник с углами при основании в 30°.
Пусть боковое ребро равно х.
Тогда высота пирамиды как катет против угла в 30° равна (1/2)х.
Проекция АО бокового ребра AS на основание как половина диагонали основания равна (1/2)*6*√2 = 3√2.
По Пифагору х² = (3√2)² + ((1/2)х)².
х² - (1/4)х² = 18.
(3/4)х² = 18.
х² = 18*(4/3) = 24.
х = √24 = 2√6.
Тогда высота пирамиды Н = 0,5х = √6.
ответ: V = (1/3)*6²*√6 = 12√6 куб.ед.
Четырехугольник может быть описан около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Трапеция - четырехугольник. Сумма оснований описанной трапеции равна сумме боковых сторон и вдвое больше средней линии.
АВ+СD=2•8,5=17 см Трапеция равнобедренная, поэтому АВ=СD=8,5
Угол ВАD=∠СDA= 30°, ⇒ высота ВН трапеции равна половине АВ.
ВН=8,5:2=4,25 см
Диаметр окружности, вписанной в трапецию, перпендикулярен её основаниям и равен её высоте.
R=D:2=4,25:2=2,125 см.