K и M - середины AB и BC соответственно, значит AK = KB и CM = MB. Но у нас дан равнобедренный треугольник, значит у него боковые стороны равны, из этого следует, что AK = KB = CM = MB Рассмотрим ΔADK и ΔCDM A = C (так как углы при основании р/б Δ-ка равны) AK = CM (см пункт 1) AD = DC (так как BD - медиана ΔABC) ΔADK = ΔCDM (по 2 сторонам и углу между ними) Рассмотрим ΔBKD и ΔBMD BD - общая сторона KB = BM (см пункт 1) KD = DM (из равенства ΔADK и ΔCDM ΔBKD = ΔBMD (по 3 сторонам) Вроде бы все, но это можно решить проще (без доказательств равенства ADK и CDM): BD - общая сторона KD = BM (пункт 1) угол KBD = MBD (по свойству медианы р/б Δ-ка) ΔBKD = ΔBMD (по 2 сторонам и углу между ними) Рисунок во вложении
Рассмотрим ΔADK и ΔCDM
A = C (так как углы при основании р/б Δ-ка равны)
AK = CM (см пункт 1)
AD = DC (так как BD - медиана ΔABC)
ΔADK = ΔCDM (по 2 сторонам и углу между ними)
Рассмотрим ΔBKD и ΔBMD
BD - общая сторона
KB = BM (см пункт 1)
KD = DM (из равенства ΔADK и ΔCDM
ΔBKD = ΔBMD (по 3 сторонам)
Вроде бы все, но это можно решить проще (без доказательств равенства ADK и CDM):
BD - общая сторона
KD = BM (пункт 1)
угол KBD = MBD (по свойству медианы р/б Δ-ка)
ΔBKD = ΔBMD (по 2 сторонам и углу между ними)
Рисунок во вложении
Медиана в прямоугольном тр-ке является радиусом описанной окружности⇒
CM=AM=BM⇒Тр-ник CMB - равнобедренный⇒угол MBC равен углу MCB=α - введем такое обозначение.
СH перпенд AB⇒угол CHB равен 90 гр
CL - биссектриса⇒угол ACL равен углу BCL=45 гр
Найдем углы MCL и LCH и покажем, что они равны
Угол LCH =угол BCL - угол BCH
Из прямоуг тр-ка CHB угол BCH=90-α⇒
Угол LCH =45-(90-α)=α-45
Угол MCL =угол MCB - угол BCL=α-45⇒
Угол LCH=Угол MCL⇒CL - биссектриса угла МСН
2) Биссектриса делит сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам⇒CM/CH=ML/LH=5/3
Пусть ML=5x; LH=3x⇒MH=8x⇒
Из прямоуг тр-ка MHC имеем:
CM^2=CH^2+MH^2⇒9+64x^2=25⇒64x^2=16⇒x^2=1/4⇒x=1/2⇒LH=3/2
CL^2=CH^2+LH^2⇒CL^2=9+9/4=45/4⇒CL=√45/4=3√5/2
ответ: 3√5/2