Треугольники ABC и A1B1C1 подобны, причём сторонам AB и AC соответствуют стороны A1B1 и A1C1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если AB = 18см, AC = 12 см, A1C1 = 18 см, B1C1 = 12 см.

Теорема:
Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано:
∠COD,A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3,A1, A2, A3 ∈OC, B1, B2, B3 ∈OD,A1A2=A2A3.
Доказать:
B1B2=B2B3.

Доказательство:
1) Через точку B2 проведем прямую EF, EF ∥ A1A3.
2) Рассмотрим четырехугольник A1FB2A2.- A1F ∥ A2B2 (по условию),- A1A2 ∥ FB2 (по построению).Следовательно, A1FB2A2 — параллелограмм. По св-ву противолежащих сторон параллелограмма, A1A2=FB2.
3)Аналогично доказываем, что A2B2EA3 — параллелограмм и A2A3=B2E.
4) Так как A1A2=A2A3 (по условию), то FB2=B2E.
5) Рассмотрим треугольники B2B1F и B2B3E.- FB2=B2E (по доказанному),- ∠B1B2F=∠B2EB3 =∠B2FB1=∠B2EB3.
Следовательно, треугольники B2B1F и B2B3E равны.Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: B1B2=B2B3.
Теорема доказана. :)

      Дано: Δ  АВС; 
                 ∠ ВАС =90⁰;
                 АВ =16см; 
                 АС = 12 см ;
___          АМ ⊥ ВС;
Найти :   высоту АМ
Рисунок дан в приложении. В нашем прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе ВС проведена высота АМ.
Из свойств  прямоугольных треугольников известно: Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два треугольника, подобные друг другу, и подобные данному треугольнику.
То есть образовавшийся  Δ МВА  подобен исходному треугольнику АВС.  
Из свойств их подобия следует:  АМ : АВ = АС : ВС;  откуда
АМ = (АВ ∙ АС) : ВС
ВС , как гипотенуза исходного Δ АВС,  равна квадратному корню из суммы квадратов его катетов.
ВС = √(АВ2 +АС2); 
ВС = √(162+122) = √ (144 +256) = √400 = 20 (см)
Найдем высоту АМ.     АМ = (АВ∙АС):ВС = 12∙16:20 = 9,6 см ответ: Высота, проведенная в гипотенузе  данного треугольника, равна 9,6 см.