Треугольники ABC и AFC не лежат в одной плоскости. Точки M и N — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. В треугольнике AFC отрезок FH — высота, причем AF:AH=2:1, ‘AFC 108°. Определите взаимное расположение прямых MN и FC и найдите угол между ними.
Следовательно, отрезок ВМ=4.
В треугольнике АВС по теореме косинусов: "Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними"
Cosα = (b²+c²-a²)/2bc. (угол α - между b и c). В нашем случае:
CosВ=(64+49-36)/2*8*7=11/16. Формула приведения: Sin²α+Cos²α=1.
Тогда SinВ=√(1-121/16²)=√135/16.
Площадь треугольника АВМ
Sabm=(1/2)*АВ*ВМ*SinB=(1/2)8*4*√135/16=√135.
ответ: Sabm=√135.
====
Смотрите рисунок, приложенный к ответу.
Рассмотрим
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету. То есть:
Отсюда:
Как видим, оба катета неизвестны. Но есть выход — теорема Пифагора. Покажем теорему Пифагора для данного треугольника:
Как мы выяснили чуть выше
Заменяем и получаем:
Немного поколдуем:
Отсюда найдем
Теперь напомню зачем нам нужно было
Подставляем вместо
Отлично. В формуле для нахождения ответа не осталось ни одной неизвестной. Подставляем то, что есть в формуле. Из условия:
Найдем, наконец,
Это ответ.