Три промені, що проходять через точку О, перетинають дві паралельні площини α і β в точках А,В,С і А1, В1, С1 відповідно. Знайти довжину відрізка АВ, якщо А1В1 = 54, ОС:СС1 = 1:17

Сечение цилиндра, параллельное оси цилиндра - прямоугольник со сторонами а-15 см, высота цилиндра, b -хорда, найти. 
рассмотрим прямоугольный треугольник: гипотенуза d=17 см -диагональ сечения цилиндра, катет H=15 см, катет х - хорда. по теореме Пифагора:
17²=15²+х²
х=8 см
основание цилиндра. хорда и 2 радиуса образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами R=  5 см, основанием х=8 см. найти высоту равнобедренного треугольника - расстояние от оси до сечения
R²=y²+(x/2)², 
5²=y²+4². y=3
 ответ: расстояние от оси до сечения 3 см

Если цилиндр вписан в призму, то трапеция описана около окружности основания. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, т.е. сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 16 см.. А средняя линия трапеции равна полусумме оснований, т.е. 8 см. 
 Для нахождения площади трапеции нужно знать ее высоту. Проведем ее и найдем через синус угла α :    h = 8sinα.
 S(полн) = P(осн)*Н +  2S(осн)
P = 16+16 = 32, H = 8, S = 16 * 8sinα/2 = 64sinα.
S(полн) = 32 * 8 + 2*64sinα = 256 + 128sinα.