Три прямые a, b, c, пересекаются в точке Р, при этом а перпендикулярна b. Точка Q принадлежит прямой а, точка S прямой b, точка R прямой с и отрезку QS.
Угол QPR равен 4x+19градусов, угол RPS равен 9x-7 градусов
Найти угол SPR

Объяснение : ДС=7х; АД=4х.

1)

ДС/АД=7/4.

Р=2(7х+4х)=44.

7х+4х=22.

11х=22.

х=2.

ДС=7*2=14;см

АД=4*2=8.см

Опустим высоту из вершины К на сторону АВ.Обозначим пересечение высоты с ДС точкой О, пересечение высоты со стороной АВ точкой М.

Рассмотрим треугольники АДЕ и ЕКО.Эти треугольники равны, ∠ДЕА=∠КЕС как вертикальные;

ДЕ=ЕО по условию; сторона АК общая. Раз треугольники равны,значит АД=КО=8.

АМ=КО+ОМ=8+8=16.см

S АКВ=14*16/2=112(.см2).

2)

S треугольника АСД=АД*ДС/2=28.

АД*АВ=56.

АВ=АД+1. (подставляем).

АД(АД+1)=56 .( АД=х для простоты решения квадратного уравнения).

х²+х-56=0.

х₁₂=(1±√225)/2.

х₁=(1+15)/2=8. АД=8.

х₂ не подходит.

АВ=8+1=9.

Р=2(8+9)=2*17=34.

Даны вершины пирамиды А(3,-5,5), В(-5,1,0), С(3,0,5), D(1,-1,4).

1) Находим векторы ВА и ВС.

ВА = (3+5=8; -5-1=-6; 5-0=5) = (8; -6; 5).

Модуль равен √(64+36+25) = √125 = 5√5.

ВС = (3+5=8;0-1=-1; 5-0=5) = (8; -1; 5).

Модуль равен √(64+1+25) = √90 = 3√10.

cos B = (8*8+(-1)*(-6)+5*5)/(5√5*3√10) = 95/(75√2) = 19√2/30 ≈ 0,896.

∠B = arc cos 0,896 = 0,46086 радиан = 26,406 градуса.

2) Площадь треугольника ABС равна половине модуля векторного произведения ВА(8; -6; 5) на ВС(8; -1; 5).

Применим треугольную схему.

i              j             k |             i               j

8            -6           5 |            8             -6

8            -1            5 |            8             -1   =

= -30i + 40j - 8k - 40j + 5i + 48k = -25i + 0j + 40k = (-25; 0; 40).

Модуль равен √(625 + 0 + 1600) = √2225 = 5√89.

Площадь АВС равна (1/2)*5√89 = 5√89/2 ≈ 23,585 кв.ед.

3) Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения (ВАхВС)*BD.

Находим вектор BD: В(-5,1,0),  D(1,-1,4) = (1+5=6; -1-1=-2; 4-0=4) = (6; -2; 4).

BAxBC = (-25; 0; 40)

V = (1/6)*(-150+0+160) = 10/6 = 5/3 ≈ 1,67 куб.ед.