Трикутника ABC. 43.44. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника ABC з осно- вою AC, якщо відомо, що А (1; 1; -2), C(-3; 3; 2), а точка B належить осі аплікат.
A) 1. Т.к. точки M и N - середины отрезков АС и АВ по условию, то MN - средняя линия треугольника. Зная, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны, находим СВ: СВ = 2 х MN = 2 x 4 = 8 см 2. Получившиеся треугольники ANM и АВС - подобны по первому признаку подобия треугольников: угол А - общий, углы ANM и АВС равны как соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых NM и СВ секущей АВ. Значит, угол ANM равен углу АВС: < АВС = 45°. Найдем неизвестный угол А, зная, что сумма углов треугольника равна 180°: <А = 180 - 90 - 45 = 45° Значит, треугольники ANM и АВС - равнобедренные, т.к. углы при основании треугольников равны. Следовательно, катет АС равен СВ: АВ = СВ = 8 см 3. Пользуясь теоремой Пифагора, находим гипотенузу треугольника АВС, зная два его катета: АB = √AC²+ CB² = √8² + 8²=√128 = √64 *2= 8√2 см 4. В прямоугольном треугольнике МВС по теореме Пифагора найдем сторону МВ, которая является гипотенузой в этом треугольнике. Катеты СВ и СМ треугольника нам известны:СВ = 8 см, СМ = 4 см, т.к. М - середина стороны АС по условию: МВ = √MC²+ CB² = √4² + 8² = √80 = √16*5 = 4√5 см б) Площадь прямоугольного треугольника ANM равна половине произведения его катетов: S = АМ х MN / 2 = 4 x 4 / 2 = 8 см² Четырехугольник MNBC - трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. MN = 4 см, СВ = 8 см, высота МС = 8 / 2 = 4 см, S = (MN + CB) / 2 x MC S = (4 + 8) / 2 x 4 = 24 см²
При пересечении прямых образовались пары равных углов: х и у (они равны как вертикальные углы). Зная, что сумма трех углов равна 240, составим уравнение: х + х + у = 240, 2х + у = 240 Зная, что развернутый угол равен 180, можем записать еще одно уравнение: х + у = 180 Решаем систему уравнений: Выразим из второго уравнения х: х = 180 - у Подставив х в первое уравнение, получаем: 2(180 - у) + у = 240 360 - 2у + у = 240 360 - у = 240 у = 360 - 240 у = 120 Подставив значение у в уравнение, находим х: х + 120 = 180 х = 60
СВ = 2 х MN = 2 x 4 = 8 см
2. Получившиеся треугольники ANM и АВС - подобны по первому признаку подобия треугольников: угол А - общий, углы ANM и АВС равны как соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых NM и СВ секущей АВ. Значит, угол ANM равен углу АВС:
< АВС = 45°.
Найдем неизвестный угол А, зная, что сумма углов треугольника равна 180°:
<А = 180 - 90 - 45 = 45°
Значит, треугольники ANM и АВС - равнобедренные, т.к. углы при основании треугольников равны. Следовательно, катет АС равен СВ:
АВ = СВ = 8 см
3. Пользуясь теоремой Пифагора, находим гипотенузу треугольника АВС, зная два его катета:
АB = √AC²+ CB² = √8² + 8²=√128 = √64 *2= 8√2 см
4. В прямоугольном треугольнике МВС по теореме Пифагора найдем сторону МВ, которая является гипотенузой в этом треугольнике. Катеты СВ и СМ треугольника нам известны:СВ = 8 см, СМ = 4 см, т.к. М - середина стороны АС по условию:
МВ = √MC²+ CB² = √4² + 8² = √80 = √16*5 = 4√5 см
б) Площадь прямоугольного треугольника ANM равна половине произведения его катетов:
S = АМ х MN / 2 = 4 x 4 / 2 = 8 см²
Четырехугольник MNBC - трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
MN = 4 см, СВ = 8 см, высота МС = 8 / 2 = 4 см,
S = (MN + CB) / 2 x MC
S = (4 + 8) / 2 x 4 = 24 см²
Зная, что сумма трех углов равна 240, составим уравнение:
х + х + у = 240, 2х + у = 240
Зная, что развернутый угол равен 180, можем записать еще одно уравнение:
х + у = 180
Решаем систему уравнений:
Выразим из второго уравнения х:
х = 180 - у
Подставив х в первое уравнение, получаем:
2(180 - у) + у = 240
360 - 2у + у = 240
360 - у = 240
у = 360 - 240
у = 120
Подставив значение у в уравнение, находим х:
х + 120 = 180
х = 60