Трикутнику АВС кут С дорівнює 90 градусів, а кут В дорівнює 59 градусів. На катеті СА відкладено відрізок СD, рівний СВ. Знайдіть кути трикутника ABD. (Відповідь записати у вигляді чисел в порядку спадання, через крапку з комою)
Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1. Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая: 1) Луч С1С проходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1. 2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1. 3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1. Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников.
Треугольник АВС с боковыми сторонами 13 и основанием АС=10 вращается вокруг АС как вокруг оси. При этом получается тело, похожее на "волчок" - два конуса с общим основанием с радиусом, равным высоте ВО треугольника АВС. В треугольнике АВС высота ВО=√(AB²-AО²)=√(13²-5²)=12 а) Площадь тела вращения – сумма площадей боковой поверхности двух конусов. Формула боковой поверхности конуса S=πRL R=12 2•S =π•12•13=312π (ед. площади) б) Объем данного тела вращения - сумма объёмов двух равных конусов. V=πR²•h/3 2V=π•144•5/3=480π (ед. объема)
Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:
1) Луч С1С проходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.
2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.
3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1.
Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по
первому признаку равенства треугольников.
При этом получается тело, похожее на "волчок" - два конуса с общим основанием с радиусом, равным высоте ВО треугольника АВС.
В треугольнике АВС высота ВО=√(AB²-AО²)=√(13²-5²)=12
а)
Площадь тела вращения – сумма площадей боковой поверхности двух конусов. Формула боковой поверхности конуса S=πRL
R=12
2•S =π•12•13=312π (ед. площади)
б)
Объем данного тела вращения - сумма объёмов двух равных конусов.
V=πR²•h/3
2V=π•144•5/3=480π (ед. объема)