У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом 120°. Площа перерізу, що при цьому утворився, дорівнює 36√6 см², а кут нахилу діагоналі перерізу до площини основи дорівнює 30°. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.

Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке (назовем ее точкой О) и делятся этой точкой пополам, значит,чтобы найди координаты точки D, нужно вначале найти координаты точки О исходя из коорнинат точек A и С, а затем найти координаты точки D исходя из координат точек B и О. Чтож приступим:

1)
Ox,y,z = (Ax,y,z + Cx,y,z)/2
О: х = (2 - 4)/2 = -1;    у = (-3+5)/2 = 1;   z = (1+6)/2 = 3,5
O(-1; 1;  3,5)
также Ox,y,z = (Bx,y,z + Dx,y,z)/2
Dx,y,z = 2*Ox,y,z - Bx,y,z
D:  x = 2*(-1) - (-1) = -1:    y = 2*1 - 1= 1;     z = 2* 3,5 - 1 = 6;
D(-1; 1; 6)

2)
Ox,y,z = (Ax,y,z + Cx,y,z)/2
О: х = (2 - 4)/2 = -1;    у = (-3+4)/2 = 0,5;   z = (6+6)/2 = 6;
O(-1; 0,5;  6)
также Ox,y,z = (Bx,y,z + Dx,y,z)/2
Dx,y,z = 2*Ox,y,z - Bx,y,z
D:  x = 2*(-1) - 1 = -3:    y = 2*0,5 - 2= -1;     z = 2* 6 - 3 = 9;
D(-3; -1; 9)

Точка N(1;1;2) лежит на прямой m; вектор a(5;-1;2) параллелен прямой m. В качестве направляющего вектора прямой l возьмем вектор MN+ta,
подобрав t таким образом, чтобы получившийся вектор перпендикулярен a, то есть чтобы скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.  

MN=(1-2;1-4;2-1)=( - 1; - 3; 1);

(MN+ta;a)=0; (MN;a)+t(a;a)=0; (-1)5+(-3)(-1)+2+(5^2+(-1)^2+2^2)t=0;
-5+3+2+30t=0; t=0.
Таким образом, задача сформулирована так, что сам вектор MN перпендикулярен прямой m. Тем проще. Остается написать канонические уравнения прямой l, как прямой, проходящей через точку M и перпендикулярной вектору MN (хотя, если честно, я больше люблю параметрические уравнения...):