Считаем, что "наложение ромба на сферу" означает то, что сфера изнутри касается всех 4-х сторон ромба.
Сечение сферы плоскостью ромба удалено от центра сферы на 8 см
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком из центра сферы к ребру ромба в точке касания R = 10 см, радиусом вписанной в ромб окружности r и высотой h = 8 см, построенной из центра ромба к центру сферы.
По Пифагору
R² = r² + h²
10² = r² + 8²
100 = r² + 64
r² = 36
r = 6 см
Если радиус вписанной в ромб окружности 6 см, то высота ромба 12 см.
Считаем, что "наложение ромба на сферу" означает то, что сфера изнутри касается всех 4-х сторон ромба.
Сечение сферы плоскостью ромба удалено от центра сферы на 8 см
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком из центра сферы к ребру ромба в точке касания R = 10 см, радиусом вписанной в ромб окружности r и высотой h = 8 см, построенной из центра ромба к центру сферы.
По Пифагору
R² = r² + h²
10² = r² + 8²
100 = r² + 64
r² = 36
r = 6 см
Если радиус вписанной в ромб окружности 6 см, то высота ромба 12 см.
Площадь ромба
S = a*h = 12,5 * 12 = 150 см²
Продлим стороны АВ и СД до пересечения.
Получим равносторонний треугольник АОД
Пусть его сторона равна а
Отрезки
АВ = 1
ВС = √3
СД = 2
Тогда в синем треугольнике ОВС по теореме косинусов
ВС² = ОВ² + ОС² - 2*ОВ*ОС*cos(60°)
3 = (a-1)² + (a-2)² - 2*(a-1)*(a-2)*1/2
3 = a²-2a+1 + a²-4a+4 - a²+3a-2
3 = a²-3a+3
a² - 3a = 0
a₁ = 0 - плохой корень, отбросим
a₂ = 3 - хороший корень :)
Т.е. стороны ΔОВС:
ОВ = 3-1 = 2
ОС = 3-2 = 1
ВС = √3
Треугольник прямоуголен:
2² = (√3)² + 1²
4 = 3 + 1
∠ВСО = 90°
∠ВСД = 180 - 90 = 90°
∠ОВС = 90 - 60 = 30°
∠АВС = 180 - 30 = 150°