У МЕНЯ КР 3. Точки А(2;3), В(6;1), С(1;-3) є вершинами трикутника АВС:

а) складіть рівняння прямої, яка містить медіану СМ трикутника АВС;

б) складіть рівняння прямої, яка містить висоту АК трикутника АВС;

в) знайдіть довжину висоти АК.

Проекции точек D и С на плоскость а - это перпендикуляры DD1 и СС1, опущенные из точек D и С на плоскость а. Соединив точки А, В, С1 и D1 получим проекцию нашего ромба АВСD  на плоскость а. Это будет параллелограмм АВС1D1 с противоположными сторонами АВ, С1D1 и ВС1, АD1 . В прямоугольном треугольнике АНD DH=AD*Sinф. Если Sinф=√5/4, то DН=9*√5/4. 
Угол между плоскостями - это линейный угол, образованный сечением этих плоскостей плоскостью, перпендикулярной к их линии пересечения. 
В нашем случае это угол DHD1, где DH и  HD1 - перпендикуляры к АВ. В прямоугольном треугольнике DHD1 с прямым углом D1 катет HD1 равен HD1=HD*Cosβ. Cosβ=√(1-sin²β)=√(1-1/16)=√15/4. Тогда HD1=((9*√5)/4)*(√15/4)=45√3/16. Площадь параллелограмма равна S=a*h, где а - сторона параллелограмма, а h - высота, опущенная на эту сторону. В нашем случае а=9, h=45√3/16.  
S=9*45√3/16=405√3/16 

См. Объяснение

Объяснение:

№ 1

Доказательство основано на теореме о свойстве биссектрисы угла треугольника: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам треугольника.

Поэтому доказать, что КС > DK - то же, что доказать, что СЕ > DE.

Так как в треугольнике большая сторона лежит против большего угла, то необходимо доказать, что ∠D, лежащий против стороны СЕ, больше угла С, лежащего против стороны DE.

∠С = 180 - 66 - 76 = 38°.

Так как ∠D > ∠С, то СЕ > DE, следовательно, КС > DK, что и требовалось доказать.  

№ 2

1) Пусть ∠А₁ - внешний угол при вершине А;

∠В₁ - внешний угол при вершине В.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним:

∠А₁ = ∠В + ∠С     (1)

∠В₁ = ∠А + ∠С     (2)

2) Согласно условию:

∠А₁ = 2 ∠В₁

∠В = ∠А + 80,

2∠В₁ = ∠В + ∠С        (3)

∠В₁ = ∠В - 80 + ∠С   (4).

Вычтем из (3) - (4):

2∠В₁ - ∠В₁ = ∠В + ∠С - ∠В + 80 - ∠С

∠В₁ = 80°

3) Так как ∠В = ∠А + 80, то

∠А = 180° (развёрнутый угол) - ∠В₁ - 80° = 180 - 80 -80 = 20°

∠В = ∠А + 80 = 20 +80 = 100°

∠С = 180 - ∠А - ∠В = 180 - 20 - 100 = 60°.

ответ: ∠А = 20°;  ∠В = 100°; ∠С = 60°.