ВС|║АD, АВ - секущая. ⇒ сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Биссектрисы делят углы пополам.⇒ из суммы углов треугольника угол ВОА=180°- 0,5•(∠АВС+∠ BAD)=90°,
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник ( для доказательства рассмотри накрестлежащие углы при секущих ВN и АМ) ⇒ ВМ=АВ, АN=AB ⇒ ВМ=АN. В ∆ ВМN отрезок ВО=ОN (т.к.в ∆ АВМ АО - медиана),⇒ МО - медиана и высота ( угол ВОМ =90° как смежный углу ВОА) ⇒ треугольник ВМN – равнобедренный и МN =ВМ Противоположные стороны четырехугольника АВMN равны и параллельны ( лежат на параллельных прямых), следовательно, АВMN– параллелограмм по определению. Кроме того, этот четырехугольник - ромб, т.к. все его стороны равны, а диагонали взаимно перпендикуляры и являются биссектрисами его углов. .
) Смотри рисунок. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВВ1 и ДСС1.
углы АВВ1=ДСС1=90 градусов; углы ВАВ1=СДС1; ВВ1=СС1(как высоты в трапеции). Как известно, для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы они имели по равному острому углу и равному катету ⇒ ΔАВВ1=ΔДСС1 ⇒ АВ=СД⇒
трапеция АВСД - равнобедренная.
б) Смотри рисунок. Пусть точка пересечения диагоналей - это О.
Рассмотрим треугольники АВО и ДСО.
Углы АОВ=ДОВ( как вертикальные); по условию ВД=АС, точка О - точка пересечения⇒ ВО=ОС и АО=ОД.
По первому признаку равенства треугольников ΔАВО=ΔДСО⇒АВ=СД⇒трапеция
ВС|║АD, АВ - секущая. ⇒ сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Биссектрисы делят углы пополам.⇒ из суммы углов треугольника угол ВОА=180°- 0,5•(∠АВС+∠ BAD)=90°,
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник ( для доказательства рассмотри накрестлежащие углы при секущих ВN и АМ) ⇒ ВМ=АВ, АN=AB ⇒ ВМ=АN. В ∆ ВМN отрезок ВО=ОN (т.к.в ∆ АВМ АО - медиана),⇒ МО - медиана и высота ( угол ВОМ =90° как смежный углу ВОА) ⇒ треугольник ВМN – равнобедренный и МN =ВМ Противоположные стороны четырехугольника АВMN равны и параллельны ( лежат на параллельных прямых), следовательно, АВMN– параллелограмм по определению. Кроме того, этот четырехугольник - ромб, т.к. все его стороны равны, а диагонали взаимно перпендикуляры и являются биссектрисами его углов. .
) Смотри рисунок. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВВ1 и ДСС1.
углы АВВ1=ДСС1=90 градусов; углы ВАВ1=СДС1; ВВ1=СС1(как высоты в трапеции). Как известно, для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы они имели по равному острому углу и равному катету ⇒ ΔАВВ1=ΔДСС1 ⇒ АВ=СД⇒
трапеция АВСД - равнобедренная.
б) Смотри рисунок. Пусть точка пересечения диагоналей - это О.
Рассмотрим треугольники АВО и ДСО.
Углы АОВ=ДОВ( как вертикальные); по условию ВД=АС, точка О - точка пересечения⇒ ВО=ОС и АО=ОД.
По первому признаку равенства треугольников ΔАВО=ΔДСО⇒АВ=СД⇒трапеция
АВСД - равнобедренная.