У ромбі зі стороною 10коріньз 3 см і кутом 60 градусів через вершину гострого кута проведено площину на відстані 9 см від усіх точок його меншої діагоналі. Знайдіть проекції діагоналей ромба на цю площину.

Условие задачи дано с ошибкой. Должно быть так:
В ΔАВС АВ = 15,  АС = 20,  ВС = 32.  На стороне АВ отложен отрезок АD = 9 см,  на стороне АС отрезок АЕ = 12 см. Найти DЕ и отношение площадей треугольника АВС и АDЕ.

AD : AB = 9 : 15 = 3 : 5
AE : AC = 12 : 20 = 3 : 5
∠А - общий для треугольников АВС и ADE, значит
ΔАВС подобен ΔADE по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Коэффициент подобия:
k = 3/5
DE : BC = 3 : 5
DE : 32 = 3 : 5
DE = 32 · 3 / 5 = 19,2
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Sabc : Sade = 9 : 25

1.
S=√p(p-a)(p-b)(p-c) , формула Герона , p _полупериметр
p =(a+b+c)/2 =(3+8+7)/2 =9 (см).
S =√9*6*1*2 =6√3 (см²).

2.
∠A +∠C =140°. 
---
∠B =∠D - ?
 * * * трапеция равнобедренная ⇒ ∠A=∠C  и ∠D = ∠B  * *  *
∠A=∠C =140°/2 =70°.
 ∠A+∠B =180° ( как сумма односторонних углов) ;
∠B =180° - ∠A=180 °- 70°=110°.
или 
(∠A+ ∠C)+(∠B + ∠D) =360 ;
(∠A+ ∠C)+2∠B  =360 ;
∠B =(360°-(∠A+ ∠C))/2 =(360°-140°) /2 =110°.

4.
S =  AB*CH/2 = 3*3/2 =4,5 (см²).

5.
R =c/2 где с гипотенуза ; 
По теореме Пифагора :  c=√(6²+8²) =√(36+64) =√100  =10 (см) .
R =c/2 =10 см /2 =5 см.