Не любая , а биссектриса к основанию ( а не к боковой стороне) совпадает с высотой и медианой. Извините, не прочитал, что в равностороннем. Для равнобедренного рассуждение такое: Это вытекает из того, что биссектриса делит треугольник на два равных ( по первому признаку, т.е. по двум сторонам и углу между ними). В этих треугольниках напротив равных углов -равные стороны: отрезки на которые биссектриса делит основание. Значит она медиана. Два угла с вершиной на середине основания тоже равны. А так как они смежные т их сумма равна 180 градусам, то и они равны 90 градусам. Значит биссектриса совпадает с высотой В равностороннем - то же рассуждение для любой стороны. .
А) По известной теореме через центр симметрии и данную прямую можно провести единственную плоскость.
Пусть О — центр симметрии, а — данная прямая, α — плоскость, проведенная через О и а.
Пусть А ∈ а, построим отрезок ОА.
Продолжим ОА за точку О на расстояние ОА1=АО. Получим точку А1, симметричную А.
Пусть В ∈ а, построим отрезок ОВ. Продолжим ОВ за точку О на расстояние ОВ1=ОВ. Получим точку B1, симметричную точке В.
Через А1 и В1 проведем прямую b. Рассмотрим ΔAОВ и ΔА1ОВ1⋅AО=А1О, ВО=ОВ1, ΔАОВ=ΔА1ОВ1 как вертикальные, следовательно, ΔAОВ=ΔА1ОВ1.
Тогда, ∠1=∠2 и а || b.
б) Пусть А ∈ а. Симметричная ей точка А1 тоже принадлежит прямой а; АО=ОА1.
Точка А произвольна, следовательно, любая точка прямой, а также симметричная точка относительно центра О лежат на прямой а, следовательно, прямая а переходит сама в себя при условии, что проходит через центр симметрии.
, а биссектриса к основанию ( а не к боковой стороне) совпадает с высотой и медианой.
Извините, не прочитал, что в равностороннем. Для равнобедренного рассуждение такое:
Это вытекает из того, что биссектриса делит треугольник на два равных ( по первому признаку, т.е. по двум сторонам и углу между ними). В этих треугольниках напротив равных углов -равные стороны: отрезки на которые биссектриса делит основание. Значит она медиана. Два угла с вершиной на середине основания тоже равны. А так как они смежные т их сумма равна 180 градусам, то и они равны 90 градусам. Значит биссектриса совпадает с высотой
В равностороннем - то же рассуждение для любой стороны.
.
Пусть О — центр симметрии, а — данная прямая, α — плоскость, проведенная через О и а.
Пусть А ∈ а, построим отрезок ОА.
Продолжим ОА за точку О на расстояние ОА1=АО. Получим точку А1, симметричную А.
Пусть В ∈ а, построим отрезок ОВ. Продолжим ОВ за точку О на расстояние ОВ1=ОВ. Получим точку B1, симметричную точке В.
Через А1 и В1 проведем прямую b. Рассмотрим ΔAОВ и ΔА1ОВ1⋅AО=А1О, ВО=ОВ1, ΔАОВ=ΔА1ОВ1 как вертикальные, следовательно, ΔAОВ=ΔА1ОВ1.
Тогда, ∠1=∠2 и а || b.
б) Пусть А ∈ а. Симметричная ей точка А1 тоже принадлежит прямой а; АО=ОА1.
Точка А произвольна, следовательно, любая точка прямой, а также симметричная точка относительно центра О лежат на прямой а, следовательно, прямая а переходит сама в себя при условии, что проходит через центр симметрии.