У трикутнику АВС АВ = ВС на стороні АС відмітили точку К. Через точку К провели прямі, паралельні бічним сторонам трикутника. Периметр паралелограма, що утворився, дорівнює 16 см. Чому дорівнює бічна сторона трикутника?
Ну, одна хитрость всего - биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Это потому, что углы при его основании равны. В самом деле, биссектриса делит угол пополам- на два равных угла, и угол, который она образует с другим основанием, является внутренним накрест лежащим углом с одним из них.
Отсюда сразу следует, что если имеющая общую вершину с биссектрисой и с той стороной которую биссектриса пересекает, боковая сторона 2*х, то та сторона, которую биссектриса пересекает = 2*х + 3*х = 5*х.
r = S/p, где р - полупериметр, то есть в нашей задаче: r = S/9
Итак MN || AB. Значит тр-ки CMN и ABC - подобны и коэффициент подобия равен: MN/AB = 2/x
Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
S(CMN)/S = 4/x²
Отсюда площадь тр-ка CMN:
S(CMN) = (4S)/x²
Другая часть, на которую прямая MN разбила исходный тр-к АВС, - это трапеция AMNB с основаниями х и 2 и высотой равной диаметру вписанной окр-ти, то есть (2S)/9. ЕЕ площадь:
S(AMNB) = ½*(x+2)*(2S)/9 = (x+2)S/9
Теперь можем расписать площадь всего тр-ка АВС:
S = S(AMNB) + S(CMN)
Или:
S = (x+2)S/9 + (4S)/x²
Сократив на S и домножив на общий знаменатель, получим уравнение для х:
х³ - 7х² + 36 = 0
Данное кубическое уравнение легко раскладывается на множители:
Ну, одна хитрость всего - биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Это потому, что углы при его основании равны. В самом деле, биссектриса делит угол пополам- на два равных угла, и угол, который она образует с другим основанием, является внутренним накрест лежащим углом с одним из них.
Отсюда сразу следует, что если имеющая общую вершину с биссектрисой и с той стороной которую биссектриса пересекает, боковая сторона 2*х, то та сторона, которую биссектриса пересекает = 2*х + 3*х = 5*х.
Периметр (2 + 5)*2*х = 14*х = 42; х = 3.
Стороны 6 и 15.
Пусть S - площадь АВС, а искомая сторона АВ = х.
Радиус вписанной окружности, как известно равен:
r = S/p, где р - полупериметр, то есть в нашей задаче: r = S/9
Итак MN || AB. Значит тр-ки CMN и ABC - подобны и коэффициент подобия равен: MN/AB = 2/x
Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
S(CMN)/S = 4/x²
Отсюда площадь тр-ка CMN:
S(CMN) = (4S)/x²
Другая часть, на которую прямая MN разбила исходный тр-к АВС, - это трапеция AMNB с основаниями х и 2 и высотой равной диаметру вписанной окр-ти, то есть (2S)/9. ЕЕ площадь:
S(AMNB) = ½*(x+2)*(2S)/9 = (x+2)S/9
Теперь можем расписать площадь всего тр-ка АВС:
S = S(AMNB) + S(CMN)
Или:
S = (x+2)S/9 + (4S)/x²
Сократив на S и домножив на общий знаменатель, получим уравнение для х:
х³ - 7х² + 36 = 0
Данное кубическое уравнение легко раскладывается на множители:
(х³ - 6х²) - (х² - 36) = 0
х²(х - 6) - (х - 6)(х + 6) = 0
(х - 6)(х² - х - 6) = 0
(х - 6)(х - 3)(х + 2) = 0
Корень -2 отбрасываем
ответ: АВ = 6 или 3 - оба корня подходят