У трикутнику АВС пряма МК, паралельна стороні ВС, перетинає сторону АВ в точці М, а сторону АС і точці К. Знайти МК, якщо АК = 12см, КС = 4 см, ВС = 24 см

Так как периметр треугольника КОС в три раза больше радиуса, то Р=3R=КО+ОС+КС= R+R+КС, следовательно, КС=R, т.о. все стороны треугольника равны, следовательно, он равносторонний и его углы равны 60 градусам. вспомним определение вписанного четырехугольника в окружность - необходимо, что бы сумма противоположных углов равнялась 180 градусам. рассмотрим четырехугольник ЕАОС, он разбит на треугольники ЕАО и ЕСО. треугольник ЕСО: угол О=60 градусов. ЕО=2*СО, следовательно, ЕО-гипотенуза, ОС, катет, лежащий против угла в 30 градусов, следовательно, треугольник  ЕСО-прямоугольный, угол С=90 градусов. рассмотрим треугольник ЕОА: угол ЕОА=углу ЕОС, т.к. ОЕ-биссектриса, следовательно, угол ЕОА=60 градусов, ЕО-гипотенуза, в два раза большая катета АО, следовательно, треугольник ЕОА-прямоугольный, угол А=90 градусов. в четырехугольнике ЕАОС углы А и С - противоположные, сумма их дает 180 градусов, следовательно, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность

1)т.к.  В и С1 лежат в одной плоскости, то соединим их, В и Ф так же лежат в одной плоскости(нижнего основания), то тоже можем их соединить. т.е. ВВ1С1С и ФФ1Е1Е две параллельные плоскости, а сечение пересекает параллельные плоскосто по паралельным прямым, ВС1 паралельно ФЕ1, то ФЕ1 так же будет являться границей сечения. получили ломаную С1ВФЕ1, а т.к. С1 и Е1 лежат в одной плосколсти верхнего основания, т. их так же можно соединить С1Е1. получили в сечении четырехугольник С1ВФЕ1.
2)рассмотрм треугольник ВФС1-прямоугольный. угол В=90 градусов.(доказывается через угол, лежащий в основании-СВФ=90 градусов). С1В по теореме пифагора =корень из 2. ВФ корень из 3, так же по Т.Пифагора. С1Ф=корень из 5, высота этого прямоугольника является расстоянием от В до ФС1, h=катет*катет/гипотенузу=корень из 6/5