У колі з радіусами АО і ОВ пряма а проходить через середини радіусів так, що ОЕ = ОА/4. Оскільки відстань - це перпендикуляр, маємо прямокутний трикутник КОЕ та РОЕ. З прямокутного трикутника КОЕ: ОК = ОА/2, ОЕ = ОА/4. Тобто, катет ОЕ у два рази менший за гіпотенузу ОК. Катет, що дорівнює половині гіпотенузи, лежить проти кута 30 градусів. Тобто, кут ОКЕ = 30 градусів. Кут КОЕ = 90 - 30 = 60 градусів. Трикутники КОЕ та РОЕ рівні за прямим кутом та гіпотенузою, тобто кути КОЕ та РОЕ рівні і дорівнюють по 60 градусів. Кут АОВ = <KOE + <POE = 60 + 60 = 120 градусів.
Под углом между скрещивающимися прямыми понимается угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Проведем через точку `M` в плоскости основания прямую `MK`, параллельную `CL`(`K` - точка ее пересечения со стороной `AB`. Тогда искомый угол - это `/_DMK`. Найдем его с теоремы косинусов из треугольника `DMK` Так все ребра тетраэдра равны (вспоминаем определение правильного тетраэдра) , то треугольники `DBC`,`ABC`и `ADB` правильные и `CL=DM=DL=sqrt(3)/2`. `MK` - средняя линия в треугольнике `BCL`: `MK=sqrt(3)/4` `DK` находим из прямоугольного треугольника `DLK`: `DK=sqrt((1/4)^2+(sqrt(3)/2)^2)=sqrt(13)/4 По теореме косинусов `DK^2=MK^2+DM^2-2*MK*DMcos(/_DMK)` Откуда `cos(/_DMK)=1/6` `/_DMK=arc cos(1/6)` ответ: `arc cos(1/6)`
Так все ребра тетраэдра равны (вспоминаем определение правильного тетраэдра) , то треугольники `DBC`,`ABC`и `ADB` правильные и `CL=DM=DL=sqrt(3)/2`.
`MK` - средняя линия в треугольнике `BCL`: `MK=sqrt(3)/4`
`DK` находим из прямоугольного треугольника `DLK`: `DK=sqrt((1/4)^2+(sqrt(3)/2)^2)=sqrt(13)/4
По теореме косинусов `DK^2=MK^2+DM^2-2*MK*DMcos(/_DMK)`
Откуда `cos(/_DMK)=1/6`
`/_DMK=arc cos(1/6)`
ответ: `arc cos(1/6)`