Учотирикутнику abcd сума кутів, прилеглих до сторони ad, дорівнює 90°. точки k i l середини сторін bc i ad відоповідно, точки m i n середини діагоналей. доведіть, що mn = kl.
перевод: в четыреугольнике abcd сумма углов, прилегающих к стороне ad, равна 90°. точки к и l середины сторон bc и ad отодно, точки m и n середины диагоналей. докажите, что mn = kl.
можно решить с пояснениями, и рисунок если можно
Смотрим рисунок:
В прямоугольном Δ-ке середина гипотенузы (на рисунке - О) есть центр описанной окружности, значит ОА=ОС=ОВ
Если прямой угол делится в отношении 1:2, то ∠АСО=30°, ∠ОСВ=60°
Т.к. ОС=ОВ, то ΔСОВ - равнобедренный, ∠ОСВ=∠ОВС=60°, но тогда также ∠СОВ=60°, таким образом, ΔСОВ не только равнобедренный, но и раносторонний:
ОС=ОВ=ВС=10 см
∠САВ=30°, значит гипотенуза АВ=2ВС=20 см
Меньшая средняя линия равна половине меньшей стороны:
ОМ=ВС/2=5 см
С =90 град
СК - медиана (АК+КВ)
уг КСВ : уг. АСК = 1 : 2
Обозначим через х коэфф.пропорции и составим уравение
х+2х=90
3х=90
х=30
Следовательно, КСВ=30 град
АСК= 60 град
Наименьшая сторона лежим против меньшего угла.
Рассмотрим треугольник СКМ (КМ перпендикулярна СВ и делит СВ пополам, то есть является средней линией треугольника. Треугольник КСМ прямоугольный. В прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. СК - гипотенуза, СК=10 см (по условию). Значит КМ=5 см
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Значит, гипотенуза АВ= 2*10=20 см