Угол между плоскостью основания и противолежащей вершиной другого основания - это угол ОКС. Поскольку все ребра перпендикулярны основаниям, то треугольник КОС - прямоугольный с прямым углом С. И поскольку угол ОКС = 30 градусов, то катет ОС равен половине гипотенузы ОК как катет, что лежит против угла 30 градусов. ОК = 2СО = 6*2 = 12 см. Из теоремы Пифагора: CK^2 = OK^2 - OC^2, CK^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108, CK = 6 корней из 6. Из правильного треугольника АВС: высота СК = 6 корней из 3, которая является также и медианой, поэтому АК = КВ = СВ/2. Из прямоугольного треугольника СКВ: угол СВК = 60 градусов как угол правильного треугольника. По теореме синусов: СК/sin(CBK) = CB/sin(CKB), CB = 12. Площадь треугольника равна 36 корней из 3 см^2. Объем призмы равен площади основания, умноженного на высоту: V = So*H = S(ABC)*OC = 108 корней из 3 см^3.
Радиус вписанной окружности в ромб равен высоте, проведенной из центра ромба на его сторону. Пусть сторона ромба с две полудиагонали образуют прямоугольный треугольник АВС с катетами АС и ВС. Найдём сторону ромба (это АС). АС = √(144² + 42²) = √(20736 + 1764) = √22500 = 150. Площадь треугольника можно записать двумя разными как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту h. То есть: h*150 = 42*144. Отсюда искомая величина равна: h = 42*144/150 = 6048 / 150 = 1008 / 25 = 40,32.
Пусть сторона ромба с две полудиагонали образуют прямоугольный треугольник АВС с катетами АС и ВС.
Найдём сторону ромба (это АС).
АС = √(144² + 42²) = √(20736 + 1764) = √22500 = 150.
Площадь треугольника можно записать двумя разными как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту h.
То есть:
h*150 = 42*144.
Отсюда искомая величина равна:
h = 42*144/150 = 6048 / 150 = 1008 / 25 = 40,32.