Угол AOB, равный 124 градусов, лучом OC разделен на два угла, разность которых равна 34 градуса. Найдите эти углы. Чему равен угол, образованный лучом OC и биссектрисой угла AOB.
Угол AOB, равный 136 градусов, лучом OC разделен на два угла, градусные меры которых относятся как 3:1. Найдите эти углы. Чему равен угол, образованный лучом OC и биссектрисой угла AOB

Треугольники AQC и DQB очевидно равны по трем сторонам, а значит совмещаются поворотом вокруг точки Q (синий и красный треугольники). Значит их медианы QN и QM тоже совместятся при этом повороте, т.е. ∠MQN равен углу между прямыми AC и DB (т.к. диагональ AC переходит в DB).

Аналогично, треугольники APC и BPD совместятся поворотом вокруг точки Р, т.е.,  ∠MPN между их медианами РМ и РN тоже равен углу между диагоналями четырехугольника. В любом случае, получаем либо ∠MPN=∠MQN, либо ∠MPN+∠MQN=180°, что и означает, что точки PQМN лежат на одной окружности.

дано: тр. АBC=тр. DEF.
AC=FD, CB=EF

По условию теоремы две пары отрезков этих треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF). Углы между отрезками также равны (т.е. ∠АСВ = ∠EFD).

Доказать, что треугольник ABC равен треугольнику DEF.

Доказательство :Поскольку имеется равенство углов (∠АСВ = ∠EFD), треугольники можно наложить друг на друга, так чтобы вершина С совпадала с вершиной F. При этом отрезки СА и СВ наложатся на отрезки FE и FD. А поскольку отрезки двух треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF по условию), то отрезок АВ также совпадёт со стороной ED. Это в свою очередь даст совмещение вершин А и D, В и Е. Следовательно, треугольники полностью совместятся, а значит, они равны.