Это хорошая задача, и очень полезная. Сразу легко найти, что треугольник AKD имеет углы 72°, 72° и 36°, и точно такие же углы имеет треугольник KDC, то есть KD = CD = BK, AK = BC (ну конечно же, треугольник ABK равнобедренный, так как AK - биссектриса, и угол BKA = угол KAD = угол BAK). В результате получилось, что надо найти отношение боковой стороны к основанию в равнобедренном треугольнике с углами 72°, 72° и 36° (то есть в треугольнике AKD). Если теперь провести биссектрису угла ADK в этом треугольнике, и посмотреть углы треугольников, на которые она его разрежет, то получится, что оба эти треугольника тоже равнобедренные. То есть в таком треугольнике биссектриса угла при основании (72°) равна основанию и ОДНОВРЕМЕННО равна отрезку, который она отсекает на боковой стороне, считая от вершины угла 36°. Пусть AK = AD = b; KD = DM = AM = a; (DM - биссектриса угла ADK, М лежит на AK). Тогда по свойству биссектрисы (b - a)/a = a/b; или (b/a)^2 - (b/a) - 1 = 0; b/a как раз и надо найти :) если решить это квадратное уравнение и отбросить отрицательный корень, получится b/a = (1 + √5)/2;
Сразу легко найти, что треугольник AKD имеет углы 72°, 72° и 36°, и точно такие же углы имеет треугольник KDC, то есть KD = CD = BK, AK = BC (ну конечно же, треугольник ABK равнобедренный, так как AK - биссектриса, и угол BKA = угол KAD = угол BAK).
В результате получилось, что надо найти отношение боковой стороны к основанию в равнобедренном треугольнике с углами 72°, 72° и 36° (то есть в треугольнике AKD).
Если теперь провести биссектрису угла ADK в этом треугольнике, и посмотреть углы треугольников, на которые она его разрежет, то получится, что оба эти треугольника тоже равнобедренные. То есть в таком треугольнике биссектриса угла при основании (72°) равна основанию и ОДНОВРЕМЕННО равна отрезку, который она отсекает на боковой стороне, считая от вершины угла 36°.
Пусть AK = AD = b; KD = DM = AM = a; (DM - биссектриса угла ADK, М лежит на AK). Тогда по свойству биссектрисы
(b - a)/a = a/b;
или (b/a)^2 - (b/a) - 1 = 0; b/a как раз и надо найти :)
если решить это квадратное уравнение и отбросить отрицательный корень, получится
b/a = (1 + √5)/2;