Угострокутному трикутнику abc проведено висоти ak і cp. знайдіть площу трикутника bpk, якщо площа трикутника abc дорівнює 16 см^2, а кут abc становить 30°.

Пусть нижнее основание равно а, верхнее равно b, боковая сторона равна с, угол при нижнем основании равен α.

У трапеции, в которую вписана окружность, боковая сторона равна средней линии: с = (a + b)/2.

Используем формулу площади трапеции:

S = ((a+b)/2)*h = ((a+b)/2)*√(ab).

Получаем первое уравнение:  ((a+b)/2)*√(ab) = 576 или

(a+b)*√(ab) = 1152.

Теперь используем заданное условие: расстояние между точками касания этой окружности боковых сторон равно 3.

Выразим расстояние t между точками касания.

t = b+2(b/2)*cos α = b(1 + cos α) = 3.

Косинус альфа выразим так:

cos α = ((a - b)/2)/c = ((a - b)/2)/((a + b)/2) = (a - b)/(a + b).

Тогда второе уравнение получим в виде:

b(1 + ((a - b)/(a + b))) = 3.

Решаем систему из двух уравнений с неизвестными a и b.

{(a+b)*√(ab) = 1152.

{b(1 + ((a - b)/(a + b))) = 3.

Решение даёт значение оснований трапеции:

a = 12(√15 + 4) ≈ 94,4758.

b = -12(√15 - 4) ≈ 1,5242.

Находим радиус r вписанной окружности.

r = h/2 = √(ab)/2 = 6.

ответ: радиус равен 6.

∠ ВАD = ∠ ВСD = 36°.

∠ АВС = ∠ АDС = 144°.

Пошаговое объяснение:

1. По условию ABCD - параллелограмм. Так как AB = BC, то параллелограмм является ромбом по определению.

2. По свойствам ромба его диагонали взаимно перпендикулярны, тогда ∆ АОD прямоугольный, сумма его острых углов 1 и 2 равна 90°.

3. Пусть ∠ 1 = х°, тогда ∠ 2 = 4х°, получили, что

х + 4х = 90

5х = 90

х = 90 : 5

х = 18

∠ 1 = 18°, ∠ 2 = 18° • 4 = 72°.

4. По свойствам ромба диагонали являются биссектрисами его углов, тогда

∠ ВАD = 2•∠ 1 = 2•18° = 36°.

∠ ВАD = ∠ ВСD = 36°.

5. ∠ АВС = ∠ АDC = 2•72° = 144°.