1. Радиус указанной окружности равен половине катета.
Из пр. тр-ка ВОС (О - центр окр):
OC^2 + BC^2 = BO^2
r^2 + 4r^2 = 90
r^2 = 18
Теперь найдем квадрат гипотенузы:
AB^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2 = 144
Значит АВ = 12
Отрезок ОМ - является радиусом и равен половине катета ВС, значит ОМ - средняя линия тр. АВС и точка М - середина гипотенузы. Значит ВМ = 6
ответ: ВМ = 6.
2.Пусть АС = 24, BD = 10
Пусть АО = х, ОС = 24-х, ОД = у, ВО = 10-у.
Тогда из подобия тр-ов АОД и ВОС получим:
х/(24-х) = у/(10-у) или 10х = 24у у/х = 10/24 = 5/12
Но у/х = tg CAD.(из прям. тр-ка AOD). Найдем сначала cos CAD , а затем и sin CAD:
1 + tg^2(CAD) = 1/(cos^2(CAD))
cos CAD = 12/13 sin CAD = 5/13
Проведем высоту СМ. Из пр. тр. АСМ:
CM=h=AC*sin CAD = 120/13.
Площадь выпуклого 4-ника:
S = (d1d2sina)/2 = 120 (sina = sin90 = 1)
С другой стороны:
S = z *h, где z - искомая средняя линия.
Z = S/h = 120/(120/13) = 13.
ответ: 13.
3.Для решения нужен подробный чертеж. Пришлите эл. адрес, вышлю фотки...
1) Сначала найдем катеты треугольника. Пусть CD - середина стороны АС. Тогда СD = BC/2. Согласно теореме Пифагора
ВС²+(BC/2)² =5*BC²/4=(3*√10)²=90 , откуда ВС²=72 и ВС=6*√2
Тогда АВ=ВС*√2=12 см. Треугольник АМС - равнобедренный прямоугольный (вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, угол САМ = 45⁰.
Следовательно АМ=АС/√2=6 см и ВМ=6 см.
2) Площадь трапеции S = АС * BD / 2 = 10 * 24 / 2 = 120 cm²
Сумма оснований - гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого - диагонали трапеции.
Она равна √(10²+24²)=√676=26 см.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть 26/2=13 см.
3) С одной стороны S = p * r , где р - полупериметр треугольника, а r - радиус вписанной окружности.
С другой стороны S = AC * h / 2.
Поскольку отрезок, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в него окружности, параллелен стороне АС, то r = h / 3.
Следовательно р = 3 * АС / 2 = 1,5 см., а периметр треугольника - 3 см.
1. Радиус указанной окружности равен половине катета.
Из пр. тр-ка ВОС (О - центр окр):
OC^2 + BC^2 = BO^2
r^2 + 4r^2 = 90
r^2 = 18
Теперь найдем квадрат гипотенузы:
AB^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2 = 144
Значит АВ = 12
Отрезок ОМ - является радиусом и равен половине катета ВС, значит ОМ - средняя линия тр. АВС и точка М - середина гипотенузы. Значит ВМ = 6
ответ: ВМ = 6.
2.Пусть АС = 24, BD = 10
Пусть АО = х, ОС = 24-х, ОД = у, ВО = 10-у.
Тогда из подобия тр-ов АОД и ВОС получим:
х/(24-х) = у/(10-у) или 10х = 24у у/х = 10/24 = 5/12
Но у/х = tg CAD.(из прям. тр-ка AOD). Найдем сначала cos CAD , а затем и sin CAD:
1 + tg^2(CAD) = 1/(cos^2(CAD))
cos CAD = 12/13 sin CAD = 5/13
Проведем высоту СМ. Из пр. тр. АСМ:
CM=h=AC*sin CAD = 120/13.
Площадь выпуклого 4-ника:
S = (d1d2sina)/2 = 120 (sina = sin90 = 1)
С другой стороны:
S = z *h, где z - искомая средняя линия.
Z = S/h = 120/(120/13) = 13.
ответ: 13.
3.Для решения нужен подробный чертеж. Пришлите эл. адрес, вышлю фотки...
1) Сначала найдем катеты треугольника. Пусть CD - середина стороны АС. Тогда СD = BC/2. Согласно теореме Пифагора
ВС²+(BC/2)² =5*BC²/4=(3*√10)²=90 , откуда ВС²=72 и ВС=6*√2
Тогда АВ=ВС*√2=12 см. Треугольник АМС - равнобедренный прямоугольный (вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, угол САМ = 45⁰.
Следовательно АМ=АС/√2=6 см и ВМ=6 см.
2) Площадь трапеции S = АС * BD / 2 = 10 * 24 / 2 = 120 cm²
Сумма оснований - гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого - диагонали трапеции.
Она равна √(10²+24²)=√676=26 см.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть 26/2=13 см.
3) С одной стороны S = p * r , где р - полупериметр треугольника, а r - радиус вписанной окружности.
С другой стороны S = AC * h / 2.
Поскольку отрезок, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в него окружности, параллелен стороне АС, то r = h / 3.
Следовательно р = 3 * АС / 2 = 1,5 см., а периметр треугольника - 3 см.