Утрапеции сумма углов при основании равно r боковые стороны равны a и b а отношение большего основания к меньшему равно n найти площадь трапеции

Показать ответ

Ответ:

натали200652

05.07.2020 09:12

Удобно воспользоваться Замечательным свойством трапеций . Пусть дана трапеция ABCD

, с боковыми ребрами AB;CD

, по условию они равны a;b

.
Продолжим боковые стороны до пересечения между собой . Обозначим вершину образовавшегося треугольника

.
Для дальнейших операций обозначим так же
$BE=x\\
EC=y$
Получим треугольник BEC

который подобен треугольнику AED

.
Площадь треугольника $S_{BEC}=\frac{xy*sinr}{2}$
Площадь треугольника $S_{AED}=\frac{(x+a)(y+b)*sinr}{2}$
Если отношение основании этих треугольников равна

, то площадей равна
$\frac{S_{AED}}{S_{BEC}} = n^2\\
\frac{xy+ay+bx+ab}{xy}=n^2$
Заметим так же что стороны этих треугольников связаны между собой отношениями bx=ay

это следует так же из подобия .
Выразим $x=\frac{ay}{b}$
Подставим
$xy+2ay+ab=n^2xy\\
\frac{ay^2}{b}+2ay+ab = n^2*\frac{ay^2}{b}\\
2ay+ab=\frac{ay^2}{b}(n^2-1)\\
2y+b=\frac{y^2}{b}(n^2-1)\\
$
решим как квадратное уравнение относительно переменной
$2yb+b^2=y^2(n^2-1) \\
 y^2(n^2-1)-2yb-b^2=0\\
 D=4b^2+4(n^2-1)b=\sqrt{4b^2n^2} \geq 0\\
 y=\frac{2b+2bn}{2(n^2-1)}=\frac{b}{n-1}\\
 x=\frac{a*\frac{b}{n-1}}{b}=\frac{a}{n-1}\\
 S_{ABCD}=\frac{sinr(ay+bx+ab)}{2}=\frac{sinr(ab+\frac{2ab}{n-1})}{2}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия