Утрехгранного угла все плоские углы прямые. внутри него из вершины отложен отрезок x , проекции которого на ребрах составляют 4, 6 и 12 см. найдите длину этого отрезка.

Этот трехгранный угол образует Декартову прямоугольную систему координат в трех измерениях
проекции отрезка Х на ребрах - это координаты, обозначим  a=4, b=6 и c=12 см
тогда по теореме Пифагора  для трех измерений
X^2 =a^2+b^2+c^2
длина отрезка x = √ (a^2+b^2+c^2) = √ (4^2+6^2+12^2) =  14 см
ОТВЕТ 14 см

Можно и не привязываться к системе координат.. но суть остается прежней)
Пусть вершина - А, концы проекций х на ребра: M,K,N.
Пусть АМ = 12, АК = 6, AN = 4.
Надо найти длину AB = x.
Чтобы найти x, надо найти треугольник с прямым углом (так как больше углов не дано, а использовать т. Пифагора легко), в котором известны две стороны.
Логично, что можно использовать одну из проекций как высоту, которую опустим на плоскость двух других проекций. Пусть этой высотой будет отрезок, параллельный AK - BC, C принадлежит (AMN). BC = 6см.
Тогда отрезок CM = NA так как AM || CN так как они оба перпендикулярны AN (AM - по условию, а CN - по теореме о трех перпендикулярах)
Тогда образуется прямоугольный треугольник CMA, у которого известны два катета - AM = 12, CM = 4
Тогда AC^2 = 12^2 + 4^2
Зная AC, можно найти AB, то есть x: 
AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + 4^2 + 6^2 = 196 => AB = 14см
x=14см.