В четырехугольнике ABCD AB = DC, точка 0, точка пересечения диагоналей. Прямая m проходит через точку 9 и пересекает стороны
BC и ADсоответственно в точках M N соответственно. Среди
векторов BM, MC, AN, DN, AM, NC найдите : а) коллинеарные
6) сонаправленные векторы,
в) противоположно направленные векторы,
г) равные векторы,
д) векторы, имеющие равные длины.

По обратной теореме Фалеса: Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

Подробно: 

Прямые А1В1, А2В2, А3В3 пересекают две другие прямые ОА и ОВ и образуют с ними треугольники с вершиной О. Эти треугольники  подобны по общему углу О и пропорциональным сторонам. Поэтому соответственные углы А1, А2, А3 при пересечении прямых А1В1, А2В2, А3В3  секущей ОА и соответственные углы В1, В2, В3 при пересечении тех же прямых секущей ОВ равны. 

Если соответственные углы, образованные  при пересечении двух прямых секущей равны, то такие прямые параллельны. 

Согласно этому признаку параллельности прямых А1В1 параллельна А2В2 и параллельна А3В3. Аналогично А2В2 параллельна А3В3, что и требовалось доказать. 

Во-первых, нужно доказать, что треугольники М1РК1 , МРК подобны.

Во-вторых, доказать что М1К1 параллелен МК.

Док-во. плоскость и треугольник МРК имеют общие точки(М1, К1),то они пересекаются и имеют общую прямую, так как плоскость параллелен МК, значит и М1К1 параллелен МК. 

Рассмотрим треугольники М1РК1 и МРК:

угол Р- общий,

угол РМ1К1=угол РМК( как соответственные, при параллельных прямых и секущей, в данном случае М1К1 параллелен МК, секущая МР)

отсюда следует, что треугольники подобны по 3-ему признаку(по трем углам)

При подобных треугольниках сохраняется подобие сторон:

МР/М1Р=МК/М1К1   коэфицент подобия равен 12:5

12/5=18/М1К1 М1К1=5*18/12= 7,5см