Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС.
Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х.
Из точек С и В проведём к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК = ВК. Следовательно, треугольник СКВ - равнобедренный.
Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ = 2φ
Из вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД(она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС.
В прямоугольном тр-ке СКД уг.СКД = φ. Половина СД стороны основания ВС равна = 0,5х или
0,5х = СK·sinφ.
В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площади
S = 1/2 CK· AS
или поскольку ребро AS = a, то
S = 1/2 CK· а, откуда
СК = 2S/а.
Для другой боковой грани - тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадь
S = 1/2 SД· ВС или
S = 0,5 SД· х.
Из тр-ка СSД найдём SД
SД² = SC² - CД² или
SД² =а² - (0,5х)²
SД =√(а² - (0,5х)²)
Теперь пошли обратно по "жирной" цепочке
Подставим SД в S = 1/2 SД· х и получим
S = 0,5 √(а² - (0,5х)²)· х
S подставим в СК = 2S/а. Получим
СК = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
Наконец, подставим СК в 0,5х = СK·sinφ.
0,5х = [√(а² - (0,5х)²)· х/а]·sinφ.
Преобразуем и найдём х
х/(2sinφ) = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
1/(2sinφ) = (1/а)·√(а² - (0,5х)²)
а = 2sinφ·√(а² - (0,5х)²)
а² = 4sin²φ·(а² - (0,5х)²
а² = sin²φ·(4а² - х²)
а² - 4а² ·sin²φ·= - х²·sin²φ
а²(4sin²φ - 1) = х²·sin²φ
х = [а·√(4sin²φ - 1)]/sinφ - это и есть длина стороны основания
Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС.
Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х.
Из точек С и В проведём к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК = ВК. Следовательно, треугольник СКВ - равнобедренный.
Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ = 2φ
Из вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД(она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС.
В прямоугольном тр-ке СКД уг.СКД = φ. Половина СД стороны основания ВС равна = 0,5х или
0,5х = СK·sinφ.
В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площади
S = 1/2 CK· AS
или поскольку ребро AS = a, то
S = 1/2 CK· а, откуда
СК = 2S/а.
Для другой боковой грани - тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадь
S = 1/2 SД· ВС или
S = 0,5 SД· х.
Из тр-ка СSД найдём SД
SД² = SC² - CД² или
SД² =а² - (0,5х)²
SД =√(а² - (0,5х)²)
Теперь пошли обратно по "жирной" цепочке
Подставим SД в S = 1/2 SД· х и получим
S = 0,5 √(а² - (0,5х)²)· х
S подставим в СК = 2S/а. Получим
СК = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
Наконец, подставим СК в 0,5х = СK·sinφ.
0,5х = [√(а² - (0,5х)²)· х/а]·sinφ.
Преобразуем и найдём х
х/(2sinφ) = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
1/(2sinφ) = (1/а)·√(а² - (0,5х)²)
а = 2sinφ·√(а² - (0,5х)²)
а² = 4sin²φ·(а² - (0,5х)²
а² = sin²φ·(4а² - х²)
а² - 4а² ·sin²φ·= - х²·sin²φ
а²(4sin²φ - 1) = х²·sin²φ
х = [а·√(4sin²φ - 1)]/sinφ - это и есть длина стороны основания
Углы треугльника найдем из уравнения x+2x+3x=180
x = 180/6 = 30°
Угол А=30°(его внешний угол 180-30=150°)
Угол В=60°(его внешний угол 180-60=120°)
Угол С=90°(его внешний угол 180-90=90°)
Аналогичная задача при соотношении внешних углов как 1:2:3 выглядит так:
Дано следующее соотношение внешних углов треугольника: А:В:С: = 1:2:3. Найдите внешние углы треугольника.
Каждый внешний угол треугольника в сумме с внутренним составляет 180 градусов.
Сумма внешних углов 3*180-180=360°
x+2x+3x=360
х=60°
Остальные углы 120° и 180°