В конус, высота которого равна 8 дм и радиус основания 6 дм, вписана правильная треугольная призма, боковыми гранями которой являются квадраты. Найдите длину бокового ребра этой призмы.

Сечение - правильный шестиугольник.

Объяснение:

Плоскости пересекаются по прямым линиям. Две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым.

Нам даны три точки секущей плоскости, пересекающей куб:  E, F и G, расположенные на ребрах АВ, AD и DD1 соответственно.

Прямая EF, принадлежащая секущей плоскости и грани АВСD куба пересекает грань куба DD1C1C в точке Q, а грань куба AA1B1B в точке R.

Проведя прямую QG до пересечения с ребром D1C1, получим точку сечения Н.

Теперь можно провести НI параллельно EF и IK параллельно GF => получим все точки сечения.

Но можно построить недостающие точки P и S (построение понятно из рисунка) и провести прямые SI (через Н) и РК (через Е). Получим то же самое сечение, которое в силу симметричности точек является правильным шестиугольником.

Грани правильного тетраэдра - равносторонние треугольники.

Их биссектриса является и высотой и медианой.

В сечении образуется равнобедренный треугольник, одна сторона которого равна ребру тетраэдра, две других - высоты грани.

Высота грани h = a*cos 30° = a√3/2 = 5√3/2.

Площадь сечения можно определить или 1) по формуле Герона, или 2) через высоту сечения.

1) Полупериметр p  = 6,83013.  Площадь S = √(p(p-a)(p-b)(p-c).

Поставив данные, получаем:

S = √( 6,83013*1,830123*2,5*2,5) = √78,125 = 8,83883.

2) Высота сечения из середины ребра на противоположное ребро равна:

h(c) = √(h² - (a/2)²) = √(18,75 - 6,25) = √12,5 ≈ 4,33013.

S = (1/2)*h(c)*a = (1/2)*5*4,330135 = 8,83883.