В кубе ABCDA1B1D1C1,найдите расстояние до BD1 от вершин:

а) А1

б) D

в)C1, если ребро куба равно 8

Отрезок пересекает плоскость под углом.  Продолжим перпендикуляр к плоскости из одной его точки до точки, соединив которую с другим концом отрезка, получим отрезок, перпендикулярный проекции, длину которой нам надо выяснить. Заодно этот отрезок будет стороной большого прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 15, одна сторона, перпендикулярная плоскости равна сумме 3 и 6 см (катет), и еще одна сторона - та, которую мы ищем.

(3+6) в квадрате+(проекция отрезка на плоскость) в квадрате=15 в квадрате. 
81+х в квадрате=225
х в квадрате = 144
х=12 - ответ.

|BC| = a = 2√3. |2AO+2CO| = 4. |AС - (3/2)*ОС| = 3.

Объяснение:

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности лежит на пересечении высот треугольника, которые являются и биссектрисами и медианами.

АО - радиус описанной окружности. АО=ВО=СО= R = 2 см.

1. Из формулы радиуса описанной около правильного треугольника окружности R = √3*a/3 выразим сторону треугольника: а = R√3.

Тогда |BC| = a = 2√3.

2. При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов.

|2AO+2CO| = 2|AO+CO| = 2*√(AO²+CO² - 2AO*CO*Cosα').

α' - угол, смежный с углом между векторами.

В нашем случае угол между векторами АО и СО равен 120° (при свединении начал обоих векторов в одну точку). Следовательно, при вычислении длины вектора суммы векторов АО + СО, построенного по правилу треугольника, угол α' = 60° (смотри рисунок). Тогда

|2AO+2CO| = 2*√(4+4 - 2*2*2*1/2) = 4.

3. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус угла между векторами.

Угол между векторами АС и ОС в нашем случае равен 30°(смотри рисунок). Тогда

|AС - (3/2)*ОС| = √(12+(9/4)*4 - 2*2√3*2*√3/2) = 3.