в основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом 6см і гіпотенузою 10 см. знайдіть об'єм піраміди , якщо всі її бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 60°
Смотрите как легко понять, что за сечение. Раз плоскость сечения II A1D, то и прямые, которые образуются при пересечении этой плоскостью граней AA1D1D и BB1C1C, тоже будут параллельны A1D.
А1D лежит в плоскости AA1D1D, и указать прямую в этой плоскости II A1D, проходящую через середину AD очень легко - это прямая, проходящая через середины AD и АА1 (средняя линяя треугольника АА1D). Если обозначить M - середина AD и K - середина АА1, то это отрезок МК.
Что же касается плоскости BB1C1C, то тут еще проще - прямая II A1D и проходящая через точку С - это диагональ B1C.
Таким образом, сечение - это равноберенная трапеция МКВ1С, причем
B1C = a*√2; МК = В1С/2 = a*√2/2; MC = KB1 = a*√5/2; (МС - гипотенуза в прямоугольном треугольнике MDC с катетами a и a/2);
Осталось найти высоту этой трепеции.
(нарисуйте её отдельно "на плоскости", проставьте размеры)
Проще всего продлить боковые стороны до пересечения. Верхнее основание в получившемся равнобедренном треугольнике будет средней линеей, и искомая высота будет равна половине высоты этого треугольника к основанию B1C. Боковая сторона его равна 2*МС = a*√5, половина основания равна a*√2/2, и высота треугольника a*√(5 - 1/2) = a*3*√2/2; то есть высота трапеции a*3*√2/4;
Площадь МКВ1С равна S = (a*3*√2/4)*(a*√2 + a*√2/2)/2 = a^2*9/8;
Остюда получается очень интересное следствие. Дело в том, что проекцией этого сечения на ABCD является трапеция AMBC, площадь которой S1= a^2*3/4;
Поэтому, если обозначить Ф линейный угол двугранного угла между плоскостями сечения и боковой грани ABDC, то cos(Ф) = S1/S = 2/3; этот результат можно было бы получить другим путем - достаточно найти расстояние от В до МС, оно равно a*2/√5, откуда сразу расстояние от В1 до МС равно a*3/√5, и cos(Ф) = 2/3. Это было бы другим вычисления площади S, поскольку S1 считается элементарно, а S = S1/cos(Ф); попробуйте разобраться:).
Из точки М пересечения диагоналей опустим перпендикуляр МР на ВС и перпендикуляр МК на АД. В сумме эти перпендикуляры равны высоте трапеции, т.е.
Нтрап = (МР + МК).
Площадь тр-ка МВС S1 = 1/2 ВС·МР
Площадь тр-ка МАД S2 = 1/2 АД·МК
Треугольники МВС и МАД подобны, с коэффициентом подобия
К= √(32:8) = 2
Из подобия тр-ков следует пропорциональность оснований и высот:
ВС/АД =МР/МК = 1/2 , откуда
АД = 2ВС, а МК = 2МР
Площадь трапеции равна
Sтрап = 0,5·(АД + ВС)·Нтрап =
= 0,5(АД + ВС)·(МР + МК) =
= 0,5(2ВС + ВС)·(МР + 2МР) =
= 0,5·3ВС·3МР =
= 9·(0,5ВС·МР) =
= 9·S1 =
= 9·8 = 72
ответ: площадь трапеции равна 72
Не через прямую С, а через точку С.
Смотрите как легко понять, что за сечение. Раз плоскость сечения II A1D, то и прямые, которые образуются при пересечении этой плоскостью граней AA1D1D и BB1C1C, тоже будут параллельны A1D.
А1D лежит в плоскости AA1D1D, и указать прямую в этой плоскости II A1D, проходящую через середину AD очень легко - это прямая, проходящая через середины AD и АА1 (средняя линяя треугольника АА1D). Если обозначить M - середина AD и K - середина АА1, то это отрезок МК.
Что же касается плоскости BB1C1C, то тут еще проще - прямая II A1D и проходящая через точку С - это диагональ B1C.
Таким образом, сечение - это равноберенная трапеция МКВ1С, причем
B1C = a*√2; МК = В1С/2 = a*√2/2; MC = KB1 = a*√5/2; (МС - гипотенуза в прямоугольном треугольнике MDC с катетами a и a/2);
Осталось найти высоту этой трепеции.
(нарисуйте её отдельно "на плоскости", проставьте размеры)
Проще всего продлить боковые стороны до пересечения. Верхнее основание в получившемся равнобедренном треугольнике будет средней линеей, и искомая высота будет равна половине высоты этого треугольника к основанию B1C. Боковая сторона его равна 2*МС = a*√5, половина основания равна a*√2/2, и высота треугольника a*√(5 - 1/2) = a*3*√2/2; то есть высота трапеции a*3*√2/4;
Площадь МКВ1С равна S = (a*3*√2/4)*(a*√2 + a*√2/2)/2 = a^2*9/8;
Остюда получается очень интересное следствие. Дело в том, что проекцией этого сечения на ABCD является трапеция AMBC, площадь которой S1= a^2*3/4;
Поэтому, если обозначить Ф линейный угол двугранного угла между плоскостями сечения и боковой грани ABDC, то cos(Ф) = S1/S = 2/3; этот результат можно было бы получить другим путем - достаточно найти расстояние от В до МС, оно равно a*2/√5, откуда сразу расстояние от В1 до МС равно a*3/√5, и cos(Ф) = 2/3. Это было бы другим вычисления площади S, поскольку S1 считается элементарно, а S = S1/cos(Ф); попробуйте разобраться:).