В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із катетом а і протилежним кутом а . Знайдіть обєм пірмаміди . якщо всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом

1. S =  25,5 дм².

2. Cosα = 0,96.

Объяснение:

1. Построим сечение. Для этого проведем из точки О (пересечение диагоналей основания пирамиды - прямоугольника) луч, параллельно боковому ребру AS и на пересечении этого луча с боковым ребром CS обозначим точку Р.  Соединив точки В и D с точкой Р, получим треугольник BPD -- сечение пирамиды, проходящее через диагональ BD параллельно боковому ребру AS (так как луч ОР лежит в плоскости сечения и параллелен ребру AS).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

По Пифагору АС = BD = √(6²+8²) = 10 дм.  ОС = АО = BO = OD = 5 дм.

Треугольники ASC и OPC подобны (OP║AS) c коэффициентом подобия k=OC/AC = 1/2. =>  PC = SC/2.

Опустим из точки Р перпендикуляр РН.

Треугольники OSC и HPC подобны (PH║OS)  c коэффициентом подобия k=PC/SC = 1/2.  =>  PH  = SO/2,  НС = ОС/2.

Проведем из точки С перпендикуляр СТ к диагонали BD.  Это высота прямоугольного треугольника BCD, проведенная из прямого угла и по ее свойству CТ = BC*CD/BD =  8*6/10 = 4,8дм.

Проведем из точки Н прямую HQ, параллельно СТ. Тогда HQ⊥BD и по теореме о трех перпендикулярах PQ⊥BD и является высотой треугольника BPD.

Треугольники OCТ и OHQ подобны (HQ║CT) c коэффициентом подобия k=PC/SC = 1/2.  =>  HQ  = CT/2 = 4,8/2 = 2,4 дм.

По Пифагору PQ = √(HQ²+PH²) = √(2,4²+4,5²) = √26,01 = 5,1 дм.

Площадь сечения равна S = (1/2)*10*5,1 = 25,5 дм².

2. Определение: Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. АВ1 и СD1 скрещивающиеся прямые по определению.

Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.

Проведем диагональ А1В грани АА1В1В. A1B параллельна СD1 как соответствующие диагонали противоположных граней параллелепипеда. АВ1 и А1В - скрещивающиеся прямые. Следовательно, искомый угол - это угол между прямыми АВ1 и А1В. Боковая грань АА1В1В - прямоугольникб диагонали которого пересекаются в точке О и этой точкой делятся пополам. Диагонали равны между собой и по Пифагору равны √(АА1²+АВ²) = √(6²+8²) = 10 ед. Тогда АО = А1О = 5 ед.  АА1 = 6 ед. (дано).

Найдем косинус этого угла по теореме косинусов:

Cosα = (AO²+A1O² - AA1²)/(2*AO*AO) = (5²+5²-6²)/(2*25) = 14/50 = 0,28.

Тогда по известной формуле

Sinα = √(1 - Cos²α) =  √(0,9216) = 0,96.

Конус (прямой) образуется от вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Данный конус образован от вращения прямоугольного треугольника АОВ вокруг катета АО. АО является высотой (H= 12см) конуса, ОВ - второй катет - равен радиусу (R= 4 см) основания конуса. АВ - гипотенуза - образующая конуса. 

Плоскость, пересекающая боковую поверхность конуса по кругу, отсекает от первоначального конуса меньший конус с вершиной А. Меньший конус образован от вращения меньшего прямоугольного треугольника AO₁B₁, где AO₁ - катет и высота меньшего конуса (искомое расстояние от вершины до плоскости пересечения), О₁В₁ - второй катет - равен радиусу (r) окружности пересечения бОльшего конуса плоскостью. Длина этой окружности L=6π. АB₁ - образующая меньшего конуса. 
Угол ОАВ совпадает с углом О₁АВ₁. Угол АОВ и угол АО₁В₁ - прямые ⇒ Угол ABO = Углу АВ₁О₁ ⇒ равны тангенсы углов ABO и АВ₁О₁
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему.

                           AO          12
Tg угла ABO= = = 3
                          OB            4

                                AO₁
Tg угла АB₁O₁ = = 3
                                O₁B₁

AO₁ = 3 * O₁B₁
Длина окружности = 2 * π * r = 6π ⇒ r = 3 (cм) ⇒ O₁B₁ = 3 (см)
AO₁ = 3 * 3 = 9 (см)

Расстояние от вершины конуса до сечения равно 9 см