В основі прямої призми лежить трикутник, сторона якого дорівнює 12 см, а висота, проведена до неї — 5 см. Бічне ребро призми дорівнює 8 см. Знайдіть об'єм призми.
Объяснение: проведенные отрезки - это биссектрисы данного треугольника (центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника);
получившиеся треугольники имеют равные высоты - это радиус вписанной окружности (любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла; радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной)
площади треугольников, имеющих равные высоты относятся как основания; получим отношения сторон треугольника (для определенности обозначим сторону (а) у треугольника с площадью 30; сторона (b) у треугольника площадью 28; (с) для площади 26):
а/b = 30/28 = 15/14
a/c = 30/26 = 15/13
b/c = 28/26 = 14/13
можно записать три стороны:
a = 15c/13; b = 14c/13 и с.
площадь всего треугольника = 30+28+26 = 84 и она связана со сторонами по формуле Герона)
В основании лежит квадрат, пусть его сторона равна х, тогда высота прямоугольного параллелепипеда равна 2х. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, отсюда: х² + х² + (2х)² = (2√6)² 2х² + 4х² = 24 6х² = 24 х² = 4 х = ±2 отрицательный корень не удовлетворяет условию ⇒ х=2 В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной 2 см, высота параллелепипеда = 2*2 = 4 см.
Вычислим синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. ΔАВС - прямоугольный по условию (∠С = 90°)
ответ: стороны треугольника 13; 14; 15
Объяснение: проведенные отрезки - это биссектрисы данного треугольника (центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника);
получившиеся треугольники имеют равные высоты - это радиус вписанной окружности (любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла; радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной)
площади треугольников, имеющих равные высоты относятся как основания; получим отношения сторон треугольника (для определенности обозначим сторону (а) у треугольника с площадью 30; сторона (b) у треугольника площадью 28; (с) для площади 26):
а/b = 30/28 = 15/14
a/c = 30/26 = 15/13
b/c = 28/26 = 14/13
можно записать три стороны:
a = 15c/13; b = 14c/13 и с.
площадь всего треугольника = 30+28+26 = 84 и она связана со сторонами по формуле Герона)
полупериметр = ((15/13)+(14/13)+1)*(c/2) = 21c/13
84 = корень из((21с/13)*(6c/13)*(7c/13)*(8c/13))
84 = 7*3*4*c^2/169
c^2 = 169
c = 13
b = 14
a = 15
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, отсюда:
х² + х² + (2х)² = (2√6)²
2х² + 4х² = 24
6х² = 24
х² = 4
х = ±2 отрицательный корень не удовлетворяет условию ⇒
х=2
В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной 2 см, высота параллелепипеда = 2*2 = 4 см.
Вычислим синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
ΔАВС - прямоугольный по условию (∠С = 90°)