В основании пирамиды ОАВСД лежит квадрат АВСД. Боковое ребро ОВ перпендикулярно к плоскости основания. Добавить линейный угол двугранного угла с ребром СД.
В квадрате АВСD точка К - середина стороны ВС, точка М - серидина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и МД перпендикулярны, а треугольники АЕМ (Е - точка пересечения прямых АК и МД) и АВК подобны. Треугольники СDN и АМD равны по двум сторонам и прямому углу между ними. Угол CND=углу АМD, угол АDМ=NCD Сумма углов ADM и АМD равны 90 градусов. Рассмотрим треугольник DNO. Угол OND=CND, угол АDМ=NCD. И в сумме они дают 90 градусов. Отсюда угол МOD = 90 градусов, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов. Треугольники DNO и АMD подобны по трем углам, хотя для прямоугольных треугольников достаточно одного равного острого угла. Найдем коэффициент подобия к=AD/OD=AM/ON=MD/ND т.к. по условию AD=2AM и АМ=АN=ND, то к=2AM/OD=AM/ON=MD/AM 2AM/OD=AM/ON, значит OD=2ON Площадь Δ DNO SΔ=36=OD*ON/2=2ON*ON/2=ON². ON=6 Тогда OD=2*6=12, а ND=√ON²+OD²=√36+144=√180=6√5 Сторона квадрата равна AB=BC=CD=AD=2*6√5=12√5 Площадь квадрата Sк=(12√5)²=720 Площадь AMCD= площадь квадрата Sк - площадь S ΔСВМ площадь S ΔСВМ=1/2*ВС*ВМ=1/2*12√5*6√5=180 Площадь AMCD=720-180=540
Відповідь:
4) Б 70° і 60°
5) Г 10см
6) Г 8см
7) ∠С=90°, ∠В=38°
якщо центр кола лежить на стороні трикутника, то ця сторона є гіпотенузою прямокутного трикутника. Отже ∠С=90°
За теоремою про суму кутів трикутника :∠В= 180°-90°-52°=38°
8) ∠1=2*20°=40°, ∠2=6*20°=120°, ∠3=7*20°=140°, ∠4=60°
Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 градусам.
Нехай ∠1=2х; ∠=6х; ∠3=7х.
Тоді за властивостями вписаного чотирикутника
∠1 + ∠3=180°;
2х+7х=180°;
9х=180°;
х=180°:9=20°
∠1=2*20°=40°, ∠2=6*20°=120°, ∠3=7*20°=140°
∠4=180°-∠2=180°-120°=60°
9) Відповідь: 22см
Нехай велика основа - а, мала основа -с, бічна сторона -b
У 4-кутник можливо вписати коло тоді, коли суми протилежних сторін рівні.
Тобто : а+с=2b P= a+c+2b=2b+2b=4b → b=P:4= 56 cм: 4 =1 6 см.
Відрізки дотичних, проведених з однієї точкі, рівні. Кути ∠В І ∠С- рівні, отже мала основа рівна с=2*5=10(см)
а+с=2b
а=2*16-10=22(см)
Треугольники СDN и АМD равны по двум сторонам и прямому углу между ними.
Угол CND=углу АМD, угол АDМ=NCD
Сумма углов ADM и АМD равны 90 градусов.
Рассмотрим треугольник DNO.
Угол OND=CND,
угол АDМ=NCD. И в сумме они дают 90 градусов.
Отсюда угол МOD = 90 градусов, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Треугольники DNO и АMD подобны по трем углам, хотя для прямоугольных треугольников достаточно одного равного острого угла.
Найдем коэффициент подобия к=AD/OD=AM/ON=MD/ND
т.к. по условию AD=2AM и АМ=АN=ND, то к=2AM/OD=AM/ON=MD/AM
2AM/OD=AM/ON, значит OD=2ON
Площадь Δ DNO SΔ=36=OD*ON/2=2ON*ON/2=ON². ON=6
Тогда OD=2*6=12, а ND=√ON²+OD²=√36+144=√180=6√5
Сторона квадрата равна AB=BC=CD=AD=2*6√5=12√5
Площадь квадрата Sк=(12√5)²=720
Площадь AMCD= площадь квадрата Sк - площадь S ΔСВМ
площадь S ΔСВМ=1/2*ВС*ВМ=1/2*12√5*6√5=180
Площадь AMCD=720-180=540