В остроугольном треугольнике АВС АС=b, ∠A=α, ∠C=β. Выразите проекции сторон АВ и ВС на сторону АС. (Задачу нужно решить без использования теоремы синусов.)

Бесконечно много.

Объяснение:

Предположим, что таких сфер конечное количество. Выберем сферу с самым большим радиусом R. Пусть расстояние от центра сферы до плоскости окружности равно d. Тогда расстояние от центра этой сферы до любой из точек окружности равно R=√(r²+d²)

Восстановим перпендикуляр OH к плоскости окружности из ее центра O так, что OH=d1>d. Тогда расстояние от H до любой точки окружности равно R1=√(d1²+r²). Построим сферу с центром в H и радиусом R1. Из наших расчетов эта сфера будет проходить через исходную окружность. Осталось заметить, что R1=√(d1²+r²)>√(d²+r²)=R по построению, т.е. мы построили сферу, проходящую через данную окружность, с радиусом, большим R, несмотря на то, что по предположению это была сфера с самым большим радиусом, и при этом проходящая через данную окружность. Значит наше предположение неверно и таких сфер бесконечное количество.

Нужно делить на СООТВЕТСТВУЮЩУЮ сторону треугольника. Если дано, что треугольники АВС и ОРТ, подобны, то вначале надо определить какие стороны являются соответствующими (и то же самое с углами: соответствующие углы у подобных треугольников равны). Как правило в учебниках, при записи подобных треугольников соответствие определяется по положению буквы в записи треугольника. Хотя, в новых учебниках это явно не сказано. Например, если сказано, что треугольники АВС и ОРТ подобны, то подразумевается, что угол А равен углу О, угол В равен Р, и С равен Т. И тогда стороне АВ соответствует  сторона ОР, стороне ВС соответствует РТ и стороне АС соответствует OТ. Т.е. при такой записи, будет AB/OP=BC/PT=AC/OT. И в вашей задаче, если AB=8, то чтобы определить коэффициент подобия, надо знать длину именно ОР. И если сказано, что она 4, то да, треугольник ABC подобен треугольнику ОРТ с коэффициентом подобия 2.