В остроугольном треугольнике KTE серединные перпендикуляры сторон КТ и ТЕ
пересекаются в точке М и TM = 13 см.
Найдите расстояние от точки M до стороны КЕ, если угол МКЕ = 30°
Найдите угол КМЕ​

Δabc ,  ∠c=90°   . пусть ас= х  ⇒ ав = х+3 s = 1/2 ac·bc = ! / 2 x(x+3)   ⇒ 18  ·2 = x²+ 3x     ⇒ x²+3 x = 36   ⇒ x²+3 x - 36 = 0       d = b² - 4 a c   =   9 - 4 ·1· (-36)=9+144=153  ⇒ x1 3-√153 = 3 -3√17   < 0   (не подходит) x2 = 3 + 3  √17   итак , ас = 3 + 3  √17         ав =   6 + 3  √17 ав  √ ас² + ав² =  √ (3 + 3  √17 ) ²+ ( 6 + 3  √17)²   = √9 + 18  √17 + 9 ·17 + 36 + 36√17 + 9·17 =  √45 + 54  √17 + 153 = √198 + 54√17 3   =   3√ 22+6√17

Поместим треугольник АВС точкой А в начало координат, стороной АС по оси Ох. Координаты точек А, Р и С известны: А(0; 0), Р(1; 0), С((9; 0).

Неизвестные координаты точки В примем (х; у).

Из точки В опустим перпендикуляр ВД на АС.

Угол РВС состоит из двух углов: РВД и ДВС.

tg(РВД) = (x - 1)/y, tg(ДВС) = (9 - x)/y.

Находим тангенс суммы углов.

tg(РВД) =  (((x - 1)/y) + ((9 - x)/y))/(1 - ((x - 1)/y)*((9 - x)/y)) =

             =  (x - 1 +9 - x)/(y(у² - (x - 1)*(9 - x)/y).

После приведения подобных и сокращения получаем:

tg(РВД) = 8у/(у² -  (x - 1)*(9 - x).

Так как по заданию угол РВД равен углу ВАС тангенс которого равен

у/х, то приравняем: 8у/(у² -  (x - 1)*(9 - x) = (у/х).

По свойству пропорции после сокращения на у получаем:

8х = у² - 9х + 9 + х² - х  или х² - 18х + 9 + у² = 0.

Выделим полный квадрат по х: (х² - 18х + 81) - 81 +9 + у² = 0.

(х - 9)² + у² = 72.

Получили уравнение окружности с центром в точке С и радиусом R = √72 = 6√2.

То есть, радиусом является искомая сторона ВС.

ответ: ВС = 6√2 ≈ 8,48528.