В остроугольном треугольникеMNP биссектриса угла M пересекает высоту NK в точке O, причём Ok=9см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN. ( с рисунком)

Проведем диагональ трапеции и соединим середины основания и боковой стороны по одну сторону от диагонали. Получим треугольник со средней линией. Она параллельна диагонали и равна ее половине. Если соединить последовательно середины сторон, то получим четырехугольник, все стороны которого равны половине диагоналей. В равнобедренной трапеции диагонали равны. Получился четырехугольник стороны которого равны. Это ромб. Из-за равенства противоположных сторон он является параллелограммом, равны все стороны, значит это ромб.

Метод координат довольно громоздкий, но, если просят... :)
Расположим начало координат в точке А, ось Х вправо, ось Y вверх
А(0;0)
C(7;0)
Уравнение окружности радиусом 5 с началом в А
x²+y²=5²
Уравнение окружности радиусом 3√2 с началом в C
(x-7)²+y²=(3√2)²
Решаем совместно для нахождения координат точек В и Д
Вычтем из первого второе
x²-(x-7)²=5²-(3√2)²
14x-49=25-9*2
14x=49+25-18
14x=56
x=4
y²=5²-x²=25-16=9
y₁ = -3 - это точка Д(4;-3)
y₂ = +3 - это точка В(4;3)
Точка Ё - середина отрезка АВ, её координаты равны среднему арифметическому координат точек А и В
Ё = (А+В)/2 = ((0;0)+(4;3))/2 = (2;3/2)
Точка Щ - середина отрезка СД, её координаты равны среднему арифметическому координат точек С и Д
Щ = (С+Д)/2 = ((7;0)+(4;-3))/2 = (11/2;-3/2)
И расстояние ЁЩ
l² = (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²
l² = (2-11/2)²+(3/2+3/2)² = (7/2)²+(3)² = 49/4+9 = 85/4
l = √(85/4) = √85/2
И это ответ