Дан треугольник АВС, точка Е принадлежит АЕ, точка К принадлежит ВС.
ВЕ:ВА = ВК:ВС = 2:5. Через прямую АС проходит плоскость альфа, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС.
а) Доказать, что ЕК параллельна плоскости альфа.
б) Найти АС, если ЕК=14
____________
Соединим точки Е и К.
В треугольниках АВС и КВЕ угол при В общий, а стороны, между которыми он заключен, пропорциональны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. ⇒
∆ АВС~∆ КВЕ.
∠ ВАС=∠ВЕК, ∠ВСА=∠ВКЕ, и эти углы соответственные при пересечении АС и ЕК секущими.
По признаку параллельности прямых: Если соответственные углы при пересечении прямых секущей равны, то прямые параллельны.
Следовательно, АС и КЕ - параллельны.
ЕК не лежит в плоскости альфа. АС - лежит в плоскости альфа.
По т. о параллельности прямой и плоскости:
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. ⇒
ЕК параллельна плоскости альфа.
Стороны ∆ ВЕК и ∆ АВС относятся как 2:5 ⇒
ЕК:АС=2:5
14:АС=2:5 ⇒
2 АС=70
АС=35
-----------------------
2 Задача.
Дан треугольник АВС, точка М принадлежит АВ, К принадлежит ВС. ВМ:МА как 3:4. Через прямую МК проходит плоскость альфа , параллельная АС.
а) Доказать, что ВС:ВК=7:3 ( в условии не дописано, но следует из отношения ВМ:МА)
б) Найти МК, если АС=14
__________
Задача похожа на первую, но все же отличается от неё, отличаются и рисунки к ним.
Даны плоскость треугольника АВС и плоскость альфа, пересекающая ее по прямой МК.
МК лежит в плоскости альфа. АС не лежит в плоскости альфа, но параллельна ей.
По признаку параллельности прямых в пространстве:
Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. ⇒
а) АС║МК, и тогда ∆ АВС и ∆ ВМК подобны по равным соответственным углам при пересечении параллельных АС и МК секущими.
Т.к. МК делит АВ на части ВМ:МА = 3:4, то АВ состоит из ВМ+МА=3+4=7 частей, и коэффициент подобия ∆ АВС и ВМК равен АВ:ВМ=7:3 и ВС:ВК=7:3- доказано.
так как все боковые ребра призмы ( в частности АА₁) перпендикулярны плоскостям оснований призмы, КК₁⊥ВС и КК₁⊥В₁С₁ АК⊥ВС и АК⊥КК₁ т.е АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ВВ₁С₁С Аналогично А₁К₁ Значит плоскость АА₁К₁К перпендикулярна плоскости ВВ₁С₁С, так как проходит через перпендикуляры АК и А₁К₁ к этой плоскости В основании призмы равносторонний треугольник АВ=ВС=АС=√√3- корень четвертой степени из 3 АК- высота равностороннего треугольника является и медианой. Из прямоугольного треугольника АВК: АК= h=a·sin60°=√√3·√3/2 S (сечения)=АК·КК₁=√3 ⇒ КК₁=2/√√3 S(полн)=2S(осн)+S(бок)=2·√√3·√√3·√3/4+3·(√√3·2/√√3)=3/2+6=6,5 ( кв.ед)
1 задача.
Дан треугольник АВС, точка Е принадлежит АЕ, точка К принадлежит ВС.
ВЕ:ВА = ВК:ВС = 2:5. Через прямую АС проходит плоскость альфа, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС.
а) Доказать, что ЕК параллельна плоскости альфа.
б) Найти АС, если ЕК=14
____________
Соединим точки Е и К.
В треугольниках АВС и КВЕ угол при В общий, а стороны, между которыми он заключен, пропорциональны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. ⇒
∆ АВС~∆ КВЕ.
∠ ВАС=∠ВЕК, ∠ВСА=∠ВКЕ, и эти углы соответственные при пересечении АС и ЕК секущими.
По признаку параллельности прямых: Если соответственные углы при пересечении прямых секущей равны, то прямые параллельны.
Следовательно, АС и КЕ - параллельны.
ЕК не лежит в плоскости альфа. АС - лежит в плоскости альфа.
По т. о параллельности прямой и плоскости:
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. ⇒
ЕК параллельна плоскости альфа.
Стороны ∆ ВЕК и ∆ АВС относятся как 2:5 ⇒
ЕК:АС=2:5
14:АС=2:5 ⇒
2 АС=70
АС=35
-----------------------
2 Задача.
Дан треугольник АВС, точка М принадлежит АВ, К принадлежит ВС. ВМ:МА как 3:4. Через прямую МК проходит плоскость альфа , параллельная АС.
а) Доказать, что ВС:ВК=7:3 ( в условии не дописано, но следует из отношения ВМ:МА)
б) Найти МК, если АС=14
__________
Задача похожа на первую, но все же отличается от неё, отличаются и рисунки к ним.
Даны плоскость треугольника АВС и плоскость альфа, пересекающая ее по прямой МК.
МК лежит в плоскости альфа. АС не лежит в плоскости альфа, но параллельна ей.
По признаку параллельности прямых в пространстве:
Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. ⇒
а) АС║МК, и тогда ∆ АВС и ∆ ВМК подобны по равным соответственным углам при пересечении параллельных АС и МК секущими.
Т.к. МК делит АВ на части ВМ:МА = 3:4, то АВ состоит из ВМ+МА=3+4=7 частей, и коэффициент подобия ∆ АВС и ВМК равен АВ:ВМ=7:3 и ВС:ВК=7:3- доказано.
б) АС:МК=7:3
14:МК=7:3
7 МК=42
МК=6 (ед. длины)
КК₁ || AA₁,
так как все боковые ребра призмы ( в частности АА₁) перпендикулярны плоскостям оснований призмы,
КК₁⊥ВС и КК₁⊥В₁С₁
АК⊥ВС и АК⊥КК₁ т.е АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ВВ₁С₁С
Аналогично А₁К₁
Значит плоскость АА₁К₁К перпендикулярна плоскости ВВ₁С₁С, так как проходит через перпендикуляры АК и А₁К₁ к этой плоскости
В основании призмы равносторонний треугольник
АВ=ВС=АС=√√3- корень четвертой степени из 3
АК- высота равностороннего треугольника является и медианой.
Из прямоугольного треугольника АВК:
АК= h=a·sin60°=√√3·√3/2
S (сечения)=АК·КК₁=√3 ⇒ КК₁=2/√√3
S(полн)=2S(осн)+S(бок)=2·√√3·√√3·√3/4+3·(√√3·2/√√3)=3/2+6=6,5 ( кв.ед)