В параллелограмме BNDC на стороне BN, которая в двое больше другой стороны, отмечена точка L так, что BL=1/2BN. Докажите, что DL - биссектриса угла NDC. С объяснением

Объяснение:

Дано: ΔАВС;

BN - медиана;

BN = NE;

Доказать: АВ || EC; BC || AE.

Доказательство:

1. Рассмотрим ΔABN  и ΔENC.

BN = NE; AN = NC (по условию)

⇒ ∠ANB = ∠ENC (вертикальные)

⇒ ΔABN = ΔENC (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

⇒ ∠1 = ∠2.

2. Рассмотрим ΔANЕ  и ΔNВC.

BN = NE; AN = NC (по условию)

⇒ ∠ANЕ = ∠ВNC (вертикальные)

⇒ ΔANЕ = ΔNВC (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

⇒ ∠3 = ∠4.

3. ∠1 = ∠2 (п.1) - накрест лежащие при АВ и ЕС и секущей ЕВ.

⇒ АВ || ЕС

∠3 = ∠4 (п.2) - накрест лежащие при АЕ и ВС и секущей АС.

⇒ АЕ || ВС

секущей, углы 1 и 2 - внутренние односторонние, их сумма должна составлять 180°(свойство параллельных прямых)
<1 + <2 = 42° + 140° = 182°
Значит, прямые а и b НЕ параллельны
Теперь рассмотрим прямые b и с, d - секущая
Углы 2 и 3 являются соответственными, по свойству параллельных прямых они должны быть равны. Но <2=140°, a <3 = 138°. Углы не равны, значит, прямые b и с НЕ параллельны
Теперь рассмотрим прямые а и с, d - секущая
Для данной пары прямых углы 1 и 3 являются внутренними односторонними, их сумма должна составлять 180°. Проверяем:
<1 + <3 = 42° + 138° = 180°
То есть прямые а и с параллельны