В правильном шестиугольнике abcdefa1b1c1d1e1f1 все ребра равны 1. Найдите угол между векторами: а) АА1 и ВС1; б)АА1 и DE1; в)АВ и В1С1; г)АВ и C1D1; д) АС и В1С1; е) АС и В1D1; ж) АС и В1Е1.
Проще всего оказалось решить эту задачу методом треугольников по Герону. По построению найдены координаты точек пересечения рёбер СС1 и ДД1 (для упрощения длина ребра взята равной 1). Координаты точки А: ax ay az 1 0 0. Координаты точки К: bx by bz 0 0.5 0. Координаты точки С2: cx cy cz 0 1 0.3333. Находим длины сторон: АК КС2 АС2 1.118034 0.6009252 1.45297. Здесь сторона АС2 является диагональю четырёхугольника, получившегося в сечении. Отсюда находим площадь треугольника АКС2: Периметр равен Р = 3.1719255, полупериметр равен Р/2 = 1.58596. S AKC2= 0.3118048. Теперь переходим ко второму треугольнику АС2Д2: Координаты точки А: ax ay az 1 0 0. Координаты точки С2: cx cy cz 0 1 0.3333. Координаты точки Д2: cx cy cz 1 1 0.6667. Длины сторон равны: АС2 С2Д2 АД2 1.4529663 1.0540926 1.20185. Периметр равен Р = 3.7089093, полупериметр равен Р/2 = 1.85445. S AС2Д2 = 0.6236096. Сумма площадей треугольников равна площади искомого сечения: S AКС2Д2= 0.3118048 + 0.6236096 = 0.935414364а².
По свойству биссектрисы стороны АВ = 21*к, АС = 35*к.
По теореме косинусов АВ² + АС² -2*АB*АС*cos A = BC².
(21k)² + (35k)²-2*(21k)*(35k) = 56².
441k² + 1225k² - (-735k²) = 3136.
2401k² = 3136
k² = 1.306122
k = √ 1.306122 = 1.142857.
Теперь находим стороны АВ и АС:
АВ = 21* 1.142857 = 24 см,
АС = 35* 1.142857 = 40 см.
Высота треугольника АВС равна^
H = АВ*sin(180-120) =24*(√3/2) = 12√3.
Площадь треугольника АВС = (1/2)Н*АС = (1/2)*12√3*40 =
= 240√3 = 415.6922 см².
По построению найдены координаты точек пересечения рёбер СС1 и ДД1 (для упрощения длина ребра взята равной 1).
Координаты точки А: ax ay az
1 0 0.
Координаты точки К: bx by bz
0 0.5 0.
Координаты точки С2: cx cy cz
0 1 0.3333.
Находим длины сторон: АК КС2 АС2
1.118034 0.6009252 1.45297.
Здесь сторона АС2 является диагональю четырёхугольника, получившегося в сечении.
Отсюда находим площадь треугольника АКС2:
Периметр равен Р = 3.1719255,
полупериметр равен Р/2 = 1.58596.
S AKC2= 0.3118048.
Теперь переходим ко второму треугольнику АС2Д2:
Координаты точки А: ax ay az
1 0 0.
Координаты точки С2: cx cy cz
0 1 0.3333.
Координаты точки Д2: cx cy cz
1 1 0.6667.
Длины сторон равны: АС2 С2Д2 АД2
1.4529663 1.0540926 1.20185.
Периметр равен Р = 3.7089093,
полупериметр равен Р/2 = 1.85445.
S AС2Д2 = 0.6236096.
Сумма площадей треугольников равна площади искомого сечения:
S AКС2Д2= 0.3118048 + 0.6236096 = 0.935414364а².