В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2 корня из 5. Точки М и N - середины ребер SB и SC. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки D, M и N. ответ дайте в градусах.

A(0;1) , B(2;5) , C(4 ;1) ; D(2; - 3) .

Док-ть четырехугольник ABCD ромб.

Объяснение:

Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то  это ромб.

Координаты середины AC :   O₁ (2 ;1 )

Координаты середины BD:    O₂ (2 ;1 )  

середины совпадают  O₁ ≡ O₂  

AC ( 4; 0)                        * * *  (4-0 ; 1 - 1)  * * *

BD ( 0 ; -8)                      * * *  (2 -2 ; -3 -5)  * * *

Скалярное произведения векторов AC и BD :

AC * BD = 4*0 +0*(-8) = 0  ⇒  AC ⊥ BD .

Углы в равностороннем треугольнике равны 60°. Биссектриса в таком треугольнике, проведенная из любой вершины, является высотой и медианой, деля его на 2 равных прямоугольных.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников:

∠α = 60/2 = 30° — по свойству биссектрисы. прилежащий к нему катет (h) — наша биссектриса. гипотенуза (c) — сторона треугольника.

Найдя гипотенузу прямоугольного треугольника, найдем и сторону равностороннего треугольника.

Воспользуемся формулой косинуса угла.

ответ: сторона равна 80.