Пусть ABCA1B1C1 - усечённая пирамида. Треугольники ABC и A1B1C1 - прямоугольные, с прямыми углами C и C1 соответственно. Углы B и B1 равны 60 градусов. Высота пирамиды (нарисуйте сами) равна √3. AB = 6, A1B1 = 4. Для определения объёма пирамиды нам нужно знать её высоту и площади оснований. Для этого нам необходимо найти катеты треугольников ABC и A1B1C1 Из треугольника ABC 1) по определению синуса sinB = AC/AB AC = AB*sinB = 6*√3/2 = 3√3 2) по определению косинуса cosB = BC/AB BC = AB*cosB = 6*1/2 = 3 Аналогично находим катеты треугольника A1B1C1: A1C1 = A1B1*sinB1 = 4*√3/2 = 2√3 B1C1 = A1B1*cosB1 = 4*1/2 = 2 Найдём площади оснований: S(ABC) = AC*BC/2 = 3*3√3/2 = 9√3/2 S(A1B1C1) = A1C1*B1C1/2 = 2*2√3/2 = 2√3 Тогда объём усечённой пирамиды V = 1/3*h*(S1+S2+√(S1S2)) = √3/3*(9√3/2+2√3+√(9√3/2*2√3)) = √3/3*(9√3/2+4√3/2+√(18*3/2)) = √3/3*(13√3/2+√27) = √3/3*(13√3/2+3√3) = √3/3*(13√3/2+6√3/2) = √3/3*19√3/2 = (3*19)/(3*2) = 19/2 = 9,5
Дан треугольник с вершинами А(2,4) В(2,7) и С(6,4). Стороны треугольника АВС: a = BC, b = AC, c = AB. 1) Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис.
Свойство биссектрисы треугольника:
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Проведём биссектрисы углов В и С. Для этого высчитываем координаты точек К и М пересечения биссектрис со сторонами, используя их свойство.
Далее по координатам вершин В и С и найденных точек К и М определяем уравнения биссектрис.
Решая систему полученных уравнений находим координаты центра вписанной окружности.
Детальные расчёты приведены в приложении.
Но для данной задачи есть более простое решение.
Находим длины сторон треугольника.
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √9 = 3, BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √25 = 5, AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √16 = 4. Отсюда видно, что треугольник прямоугольный,
r =(a+b-c)2 = (3+4-5)/2 = 1.
R = abc/(4S) = (3*4*5)/(4*((1/2)*3*4)) = 60/24 = 2,5.
2) координаты центра описанной окружности находятся на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Для определения объёма пирамиды нам нужно знать её высоту и площади оснований. Для этого нам необходимо найти катеты треугольников ABC и A1B1C1
Из треугольника ABC
1) по определению синуса
sinB = AC/AB
AC = AB*sinB = 6*√3/2 = 3√3
2) по определению косинуса
cosB = BC/AB
BC = AB*cosB = 6*1/2 = 3
Аналогично находим катеты треугольника A1B1C1:
A1C1 = A1B1*sinB1 = 4*√3/2 = 2√3
B1C1 = A1B1*cosB1 = 4*1/2 = 2
Найдём площади оснований:
S(ABC) = AC*BC/2 = 3*3√3/2 = 9√3/2
S(A1B1C1) = A1C1*B1C1/2 = 2*2√3/2 = 2√3
Тогда объём усечённой пирамиды
V = 1/3*h*(S1+S2+√(S1S2)) = √3/3*(9√3/2+2√3+√(9√3/2*2√3)) = √3/3*(9√3/2+4√3/2+√(18*3/2)) = √3/3*(13√3/2+√27) = √3/3*(13√3/2+3√3) = √3/3*(13√3/2+6√3/2) = √3/3*19√3/2 = (3*19)/(3*2) = 19/2 = 9,5
Стороны треугольника АВС: a = BC, b = AC, c = AB.
1) Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис.
Свойство биссектрисы треугольника:
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Проведём биссектрисы углов В и С. Для этого высчитываем координаты точек К и М пересечения биссектрис со сторонами, используя их свойство.
Далее по координатам вершин В и С и найденных точек К и М определяем уравнения биссектрис.
Решая систему полученных уравнений находим координаты центра вписанной окружности.
Детальные расчёты приведены в приложении.
Но для данной задачи есть более простое решение.
Находим длины сторон треугольника.
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √9 = 3,BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √25 = 5,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √16 = 4.
Отсюда видно, что треугольник прямоугольный,
r =(a+b-c)2 = (3+4-5)/2 = 1.
R = abc/(4S) = (3*4*5)/(4*((1/2)*3*4)) = 60/24 = 2,5.
2) координаты центра описанной окружности находятся на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника.