Две стороны параллелограмма заданы уравнениями 2x-y+5=0 (это прямая АВ) и x-2y+4=0 (это прямая АД), его диагонали пересекаются в точке О(1,4). Найти длины его высот.
Находим координаты точка А как точки пересечения сторон.
2x-y+5=0 |x(-2) -4x+2y-10=0
x-2y+4=0 x-2y+4=0
-3x - 6 = 0,
x(A) = -6/3 = -2,
y(A) = 2x - 5 = 2*(-2) + 5 = 1.
Находим точку С как симметричную точке А относительно точке пересечения диагоналей (это точка О).
х(С) = 2х(О) - х(А) = 2*1 - (-2) = 4,
у(С) = 2у(О) - у(А) = 2*4 - 1 = 7.
Через точку С проводим прямую, параллельную АД.
Выражаем уравнение АД относительно у: у(АД) = (1/2)х + 2.
Угловой коэффициент параллельной прямой сохраняется.
у(ВС) = (1/2)х + в. Подставим координаты точки С.
7 = (1/2)*4 + в, откуда находим в = 7 - 2 = 5.
Уравнение ВС: у = (1/2)х + 5.
Находим координаты точки В кк точки пересечения АВ и ВС.
2х + 5 = (1/2)х + 5, отсюда следует х = 0, у = 5.
Координаты точки Д находим как симметричную точке В относительно точки О: х(Д) = 2*1 - 0 = 2, у(Д) = 2*4 - 5 = 3.
Проведем перпендикуляры BS1 и MS2. (M - центр AB) Обозначим плоскость треугольника ABS1-желтым цветом. Плоскость β голубым. Поскольку прямая AB лежит в плоскости желтого треугольника,то все ее точки лежат в этой плоскости,а значит точка M тоже лежит в этой плоскости.(аксиома 2). Мы можем интуитивно заявить что отрезок MS2 лежит в плоскости этого треугольника (Да это так ,но этот факт требует доказательства) Итак подтвердим наше предположение: Прямые MS2 || BS1 параллельны, как два перпендикуляра к одной плоскости. А поскольку параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости,то прямые MS2 и BS1 лежат в одной плоскости. То есть точки S2,M,B,S1 лежат в одной плоскости. Мы знаем что точки M,B,S1 лежат в плоскости желтого треугольника. То поскольку через 3 данные точки можно провести плоскость и при том только одну. То они не могут лежат в другой плоскости отличной от плоскости желтого треугольника,иначе это противоречило бы первому постулату. А поскольку вместе с ними в одной плоскости весит и точка S2,то она тоже лежит в плоскости треугольника. То и прямая MS2 лежит в плоскости этого треугольника. Ну теперь все очевидно :MS2 -средняя линия треугольника ABS1,откуда: MS2=BS1/2=12/2=6 см ответ:6 cм
Две стороны параллелограмма заданы уравнениями 2x-y+5=0 (это прямая АВ) и x-2y+4=0 (это прямая АД), его диагонали пересекаются в точке О(1,4). Найти длины его высот.
Находим координаты точка А как точки пересечения сторон.
2x-y+5=0 |x(-2) -4x+2y-10=0
x-2y+4=0 x-2y+4=0
-3x - 6 = 0,
x(A) = -6/3 = -2,
y(A) = 2x - 5 = 2*(-2) + 5 = 1.
Находим точку С как симметричную точке А относительно точке пересечения диагоналей (это точка О).
х(С) = 2х(О) - х(А) = 2*1 - (-2) = 4,
у(С) = 2у(О) - у(А) = 2*4 - 1 = 7.
Через точку С проводим прямую, параллельную АД.
Выражаем уравнение АД относительно у: у(АД) = (1/2)х + 2.
Угловой коэффициент параллельной прямой сохраняется.
у(ВС) = (1/2)х + в. Подставим координаты точки С.
7 = (1/2)*4 + в, откуда находим в = 7 - 2 = 5.
Уравнение ВС: у = (1/2)х + 5.
Находим координаты точки В кк точки пересечения АВ и ВС.
2х + 5 = (1/2)х + 5, отсюда следует х = 0, у = 5.
Координаты точки Д находим как симметричную точке В относительно точки О: х(Д) = 2*1 - 0 = 2, у(Д) = 2*4 - 5 = 3.
Находим длины сторон.
AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) = 20 4,472135955
BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) = 20 4,472135955
CD = √((xD-xC)² + (yD-yC)²) = 20 4,472135955
AD = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) = 20 4,472135955 .
Находим длины диагоналей.
AC = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) = 72 8,485281374
BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) = 8 2,828427125 .
Как видим, это ромб.
Его площадь S = (1/2)*AC*BD = (1/2)*V72*V8 = 12.
Высоты равны h = S/a = 12/V20 = 12/(2V5) = 6V5/5.
Обозначим плоскость треугольника ABS1-желтым цветом. Плоскость β голубым.
Поскольку прямая AB лежит в плоскости желтого треугольника,то все ее точки лежат в этой плоскости,а значит точка M тоже лежит в этой плоскости.(аксиома 2).
Мы можем интуитивно заявить что отрезок MS2 лежит в плоскости этого треугольника (Да это так ,но этот факт требует доказательства) Итак подтвердим наше предположение:
Прямые MS2 || BS1 параллельны, как два перпендикуляра к одной плоскости. А поскольку параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости,то прямые MS2 и BS1 лежат в одной плоскости. То есть точки S2,M,B,S1 лежат в одной плоскости. Мы знаем что точки M,B,S1 лежат в плоскости желтого треугольника. То поскольку через 3 данные точки можно провести плоскость и при том только одну. То они не могут лежат в другой плоскости отличной от плоскости желтого треугольника,иначе это противоречило бы первому постулату. А поскольку вместе с ними в одной плоскости весит и точка S2,то она тоже лежит в плоскости треугольника. То и прямая MS2 лежит в плоскости этого треугольника.
Ну теперь все очевидно :MS2 -средняя линия треугольника ABS1,откуда:
MS2=BS1/2=12/2=6 см
ответ:6 cм