В правильной треугольной призме проведена плоскость через сторону основания и середину противоположного бокового ребра. Вычисли площадь сечения, если сторона основания призмы равна 4 см, а высота призмы равна 6 см.

Даны вершины треугольника:

А(3; -1; 6), В(1; 7; -2), С(1; -3; 2).

Находим расстояние между точками.    

d = v ((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).

  Вектор АВ  -2 8 -8      |AB| = √(4 + 64 + 64) =√132.

  Вектор ВС  0 -10 4       |BC| = √(0 + 100 + 16) =√116.

  Вектор АС  -2 -2 -4      |AC| = √(4 + 4 + 16) =√24.  

Треугольник АВС      

a(ВС) b(АС) c(АВ)    p            2p    S

10,77 4,89 11,49 13,58 27,158 26,306

116         24          132  квадраты  

По теореме косинусов:

cos A = 0,355334527 cos B = 0,905111457 cos С = 0,075809804

Аrad = 1,207524401 Brad = 0,439154533 Сrad = 1,494913719

Аgr = 69,18605183 Bgr = 25,16170132 Сgr = 85,65224685 .

По заданию - треугольник АВС разносторонний.

ответ: 1200π

Объяснение:  

 Формула объёма прямой призмы   V=S•H, где Ѕ - площадь основания, Н - высота призмы.  

  Высота призмы равна высоте вписанного цилиндра, которая, в свою очередь, равна его оси. Ось цилиндра параллельна боковой грани призмы, диагональ боковой грани принадлежит её плоскости. Эти два отрезка не пересекаются и не параллельны - они скрещиваются.      Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

  Окружность основания цилиндра касается боковой грани призмы, радиус перпендикулярен стороне основания, поэтому расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно радиусу цилиндра.

Ѕ(полн. цил)=2Ѕ (осн)+Ѕ(бок).

Ѕ(осн)=πr²=π•(5√2)²=50π ⇒2S=100π

Ѕ(бок)=106π-100π=6π

Ѕ(бок)=2πr•H ⇒ H=6π:2π•5√2=0,3√2

Высота ВК основания (ромба) равна диаметру основания цилиндра=2r=10√2

Сторона ромба АВ=ВС=ВК:sin45°=(10√2•√2):2=20

S(ABCD)=AB•AC•BK=200•10√2=2000√2

V=π•2000√2•0,3√2=1200π