В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота сH к гипотенузе AB. Найдите больший из отрезков, на которые гипотенуза делится высотой, если катеты треугольника вс и AC равны 7 и 24 соответственно
Пусть M - середина АС. Тогда ВM - медиана и высота правильного треугольника АВС. SM - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC. ВM⊥АС, SM⊥AC, ⇒ ∠SMB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.
Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание (в нашем случае - ∠SMH)
SH - высота пирамиды, МО - биссектриса ∠SMH. О - центр вписанного в пирамиду шара. ОН = R - расстояние от центра шара до плоскости основания. Проведем ОК⊥SM. АС⊥SMB (ВM⊥АС, SM⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒ ОК⊥SAC, т.е. ОК = R - расстояние от центра шара до грани SAC. К - точка касания.
ΔОМН: НМ = ОH / tg∠OMH = R / tg30° = R√3 НМ - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: НМ = а√3/6 а√3/6 = R√3 a = 6R
ΔSHM: HM / SM = cos 60° SM = HM / cos60° = R√3 / (1/2) = 2R√3
Проведем КР⊥SH, Р - центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности пирамиды. РК - ее радиус. ∠SKP = ∠SMH = 60° (соответственные при пересечении КР║МН секущей SM), ∠РКО = ∠SKO - ∠SKP = 90° - 60° = 30° ΔPKO: cos ∠PKO = PK / KO cos 30° = r / R r = R√3/2
Длина окружности касания: C = 2πr = 2π · R√3/2 = πR√3
Непонятно, прямая которой нужно построить параллельные дана или нет? Если дана, можно, например, так: 1) проведем прямую, пересекающую данную; от точки пересечения отложим на этой прямой 4 отсечки одинаковым раствором циркуля (рисунок 1) 2) через первую отсечку (точка А) проведем еще одну прямую, которая пересечет данную в точке В; на этой прямой отложим три отсечки раствором циркуля равным АВ (рисунок 2) 3) соединим прямыми отсечки первой и второй прямой, получившиеся прямые будут параллельны данной (рисунок 3)
Если не дана, на четвертом рисунке красивое решение. Надеюсь, понятно без пояснений
Тогда ВM - медиана и высота правильного треугольника АВС.
SM - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC.
ВM⊥АС, SM⊥AC, ⇒ ∠SMB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.
Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание (в нашем случае - ∠SMH)
SH - высота пирамиды, МО - биссектриса ∠SMH. О - центр вписанного в пирамиду шара.
ОН = R - расстояние от центра шара до плоскости основания.
Проведем ОК⊥SM. АС⊥SMB (ВM⊥АС, SM⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒
ОК⊥SAC, т.е. ОК = R - расстояние от центра шара до грани SAC. К - точка касания.
ΔОМН: НМ = ОH / tg∠OMH = R / tg30° = R√3
НМ - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
НМ = а√3/6
а√3/6 = R√3
a = 6R
ΔSHM: HM / SM = cos 60°
SM = HM / cos60° = R√3 / (1/2) = 2R√3
Sбок = 1/2 Pabc · SM = 1/2 · 3(6R) · 2R√3 = 18R²√3
Проведем КР⊥SH, Р - центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности пирамиды. РК - ее радиус.
∠SKP = ∠SMH = 60° (соответственные при пересечении КР║МН секущей SM),
∠РКО = ∠SKO - ∠SKP = 90° - 60° = 30°
ΔPKO: cos ∠PKO = PK / KO
cos 30° = r / R
r = R√3/2
Длина окружности касания:
C = 2πr = 2π · R√3/2 = πR√3
Если дана, можно, например, так:
1) проведем прямую, пересекающую данную; от точки пересечения отложим на этой прямой 4 отсечки одинаковым раствором циркуля (рисунок 1)
2) через первую отсечку (точка А) проведем еще одну прямую, которая пересечет данную в точке В; на этой прямой отложим три отсечки раствором циркуля равным АВ (рисунок 2)
3) соединим прямыми отсечки первой и второй прямой, получившиеся прямые будут параллельны данной (рисунок 3)
Если не дана, на четвертом рисунке красивое решение. Надеюсь, понятно без пояснений